区间二型随机模糊系统的控制设计

张 彪，周绍生

(1.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州310018;2.杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州310018)

0 引 言

作为对传统模糊集合理论的扩展，Zadeh 于1975年提出了二型模糊集合的概念[1]。在最近十年间，二型模糊集合理论与应用取得了快速发展，二型模糊集合是在传统模糊集合基础上进行扩维处理，使一个单一的模糊变量由两个不同层次的隶属函数来描述，其推理和设计的自由度得到了扩展，因此二型模糊集合具有描述多重不确定信息的能力[2]。区间二型模糊集合将二型模糊集合的次隶属度赋值为1，大大简化了二型模糊逻辑运算的复杂性。由于区间二型模糊集合既具有二型模糊集合描述不确定性问题的优势，同时又避免了二型模糊集合运算过于复杂的问题，所以目前大多数基于二型模糊集合理论的应用都采用区间二型模糊系统[3]。近几年，区间二型模糊系统的研究已经成为热点[4-7]。Lam等人利用包含在不确定域中的信息，引入松弛矩阵，得到了区间二型T-S 模糊系统保守性更小的稳定性条件[4]，并研究了在不完全匹配条件下区间二型模糊系统的控制器设计问题[5];文献[7]利用区间二型模糊集合隶属函数的特性研究了带有时滞的区间二型模糊系统的稳定性问题。另一方面，随机系统的研究受到越来越多人的关注[8-9]。文献[8]研究了带有时滞的不确定随机系统的控制器设计问题，文献[9]研究了一类不确定It^o 随机T-S 模糊系统的鲁棒随机镇定问题。到目前为止还很少有关于区间二型随机模糊系统的研究，受此启发，本文主要研究了带有多个维纳过程基于T-S模型的区间二型随机模糊系统的控制器设计问题，利用平行分布补偿法设计状态反馈控制器，采用不等式变换技巧和Schur补引理，以线性矩阵不等式形式给出了系统稳定的充分条件。

1 系统描述

区间二型模糊系统的优势是它可以直接处理系统中存在的不确定性。从式(4)可以看出，在系统模型中用非线性函数)和来描述系统的不确定信息。同时式(4)也说明了不确定域中的内嵌一型模糊集合的隶属函数可以通过和由区间二型模糊集合的上、下隶属函数重构得到，在文献[4]中，作者举例阐明了这一点。

运用平行分布补偿原理设计状态反馈控制器，该控制器的第j个模糊规则描述如下:

式中，Kj∈Rm×n，j=1，2，…，p是第j个控制规则的反馈增益。区间二型模糊控制器被表述为:

引理1[9]如果存在一个正定且有上、下界的函数V(x，t)∈C2，1(Sh×[t0，∞);R+)，使得

是负定的，那么随机系统(3)是随机渐近稳定的。

2 主要结果

定理1 由式(3)和式(5)构成的区间二型闭环系统式(6)随机渐近稳定的充分条件是:存在正定矩阵X ∈Rn×n，矩阵Dj∈Rn×m，使得下面的矩阵不等式成立:

证明 考虑二次型Lyapunov 函数:

式中，P=PT∈Rn×n＞0。记G(x)=[Ci1x Ci2x … Cimx]，W(t)=[ω1(t) ω2(t) … ωm(t)]T，可得:

将式(9)代入式(6)得到:

用对角阵diag{X-1，Ⅰmn，Ⅰmn}分别左乘和右乘不等式(7)两边可以推出:

记P=X-1，由Kj=DjX-1，由式(12)可得:

依据Schur 补引理可以推出不等式(13)式等价于:

3 数值实例

考虑区间二型随机模糊系统式(6)，其中p=m=2，已知下列矩阵

下面给出一些仿真的初始参数:系统初始状态为x1(0)=-1.5，x2(0)= 0.8，仿真时间区间为t ∈[0，T]，其中T=4。扰动变量步长Δt=Rδt，R=2。图1和图2反映的是系统状态分别沿着10条和30条Wiener 过程路径的反应曲线及它们沿这些路径的均值，反映了系统沿着不同个数的随机样条下系统的状态。

图1 x1和x2 沿着10条Wiener 过程的响应曲线

图2 x1和x2 沿着30条Wiener 过程的响应曲线

4 结束语

本文主要研究了一类带有多维纳过程的区间二型随机模糊系统的控制器设计问题。设计状态反馈控制器镇定系统，利用随机Lyapunov 理论，将这类系统的稳定性问题转化为求解LMI 稳定性条件。最后给出一个仿真实例来阐释这一方法的可行性。

[1]Zadeh L A.The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning-1[J].Information Sciences，1975，8(3):199-249.

[2]曹江涛，李平，刘洪海.一种改进的区间二型模糊控制器设计[J].控制与决策，2009，24(10):1 597-1 600.

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