生态平衡条件下尺度结构模型的最优捕获

(杭州电子科技大学运筹与控制研究所，浙江 杭州310018)

0 引 言

资源的枯竭已经使人类的生存面临严重威胁，合理开发和利用生物资源是人类必须认真对待的一个重要课题。文献[1]研究了非线性年龄结构种群的可持续捕获问题，文献[2]介绍了具有复杂年龄结构的可捕获物种的种群动力学，并列举了大麻哈鱼的例子，文献[3-4]主要研究的是种群的演化趋势，文献[5]提出了按固定努力量捕捞方式的最优捕鱼策略，文献[6-7]是对最优捕获问题的研究。本文在文献[5]模型的基础上，研究具有个体尺度结构的种群的最优捕捞策略，获得最大的经济价值。

1 模型与问题

假设种群的个体按尺度大小分为n个组，第一组个体为幼体。xi(t)表示i组个体在t时刻的数量，则表示t时刻种群各尺度小组个体的分布情况。考虑如下模型:

式中，ωij表示j组个体单位时间里转移到i组的概率，αi表示i组个体单位时间内存活的概率，βi表示i组个体的繁殖率，ci(0 ≤ci≤1)表示人对第i组个体的捕捞强度，ki(＞0)表示单位时间里对幼体的投放数。

令x*=(x1，x2，…，xn)T为式(1)的正平衡态，则x*满足下列条件:

考虑平衡态下的最优捕获问题:

式中，pi＞0为第i组个体的经济价值，约束条件为:

2 最优策略

由式(4)的后n-1行可得:

因为0 ≤ωii，αi＜1，0 ≤ci≤1，i=2，…，n，所以ξi＞0，i=2，…，n。把式(5)代入式(4)的第一行可得(1-ω11α1-β2(1-c2)ξ2-…-βn(1-cn)ξn)x1=k1，当x1的系数大于0时，x1存在且唯一。又因为ξi＞0，i=2，…，n，所以xi＞0，i=1，2，…，n。把xi代入式(3)可得出关于ci的连续函数。又因为0 ≤ci≤1，i=2，…，n，从而可行域有界，根据文献[8]定理10.3可得优化问题式(3)、式(4)一定存在最优解。

应用拉格朗日乘数法求最优解，令:

因为f与φi(i=1，…，n)有连续的一阶偏导数，则L 也有连续的一阶偏导数。对L 分别求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有:

对A 进行初等行列变换，把右上角的n-1 行和n-1列变为单位矩阵E，则有

若det(A')≠0，则det(A)≠0。设det(A')≠0，且p2，p3，…，pn都是正实数，则秩(A)= 秩(A)=n，故式(8)有唯一解(其中)。

设λ*=(λ*1，λ*2，…，λ*

n)是式(8)的唯一解，则代入式(7)的第n+2 行到第2n行可得:

把c2，c3，…，cn代入φ1，φ2，…，φn中得:

以上最优捕获策略是在保证种群能达到平衡的条件下获得的。从其表达式可以看出，本策略关于模型参数是连续变化的，这既符合理论期望也满足实际需求。至于一般约束条件下的最优捕获问题，原则上也可以采用拉格朗日乘数法或者离散系统的最大值原理，解决难度会更大。

3 结束语

本文在种群平衡的约束下研究了一个最优捕获问题，找出了最优捕捞强度、最优平衡态和最大收益值。至于在种群未达到平衡态时，应当采用何种策略才是最优，还需要做深入研究。

[1]Getz W M.The Ultimate-Sustainable-Yield Problem in Nonlinear Age-Structured Populations[J].Mathematical Biosciences，1980，48(3):279-292.

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[4]邹世平，何泽荣，杨立志.具有投放和选择性捕捞的种群模型研究[J].杭州电子科技大学学报，2014，34(5):43-47.

[5]白利华，何尚录，栗永安.按固定努力量捕捞方式的最优捕鱼策略[J].兰州铁道学院学报，1997，16(1):83-86.

[6]Rorres C.linear programming approach to the optimal sustainable harvesting of a forest[J].Journal of environmental management，1978:245-254.

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