S－分布时滞随机竞争神经网络的指数稳定性*

张 燕，杨 彬，王林山

（1.中国海洋大学数学科学学院，山东 青岛 266100；2.青岛大学，山东 青岛 266071）

0 引言

竞争神经网络是一种无监督学习型神经网络，在模式识别、信号处理、优化计算和控制理论中有着广泛应用。从生物学角度出发，人类记忆分为短期记忆（STM）和长期记忆（LTM），STM描述网络状态瞬时变化的动力学行为；LTM描述网络受外部刺激而诱发的无师指导下突触缓慢变化的动力学行为。由此，文献［1］提出如下一类具有不同时间尺度的竞争神经网络：

由于神经网络在运行过程中，神经元之间的突触反应不可避免地出现时间延迟效应，因此人们研究了含有离散时滞和分布时滞的竞争神经网络的动力行为［2－4］。特别是，包含离散时滞和分布时滞的S－ 分布时滞的神经网络动力行为的研究更加引人注目［5－7］。另外，网络在信号传输过程中易受噪声干扰，噪音往往影响系统的稳定性［8－10］，因此，研究S－ 分布时滞随机竞争神经网络的动力学行为不仅是应用的需要，而且理论上也有重要意义。本文研究了一类S－分布时滞随机竞争神经网络的适定性和全局指数鲁棒稳定性。给出了易于验证的稳定性判据，推广了文献［15-16］中的结果。

1 预备知识

考虑如下S-分布时滞随机竞争神经网络模型：

定义 1设x＝（x1，x2，…，xN）T，φ（θ）＝（φ1（t），φ2（t），…，φN（t））∈C（ （－ ∞，0］，RN）和D＝（dij）N×N，则其范数分别定义为：

定义2［12］设＝（0，0）T，i＝1，2，…，N为系统（2）的平衡点，对于任意的有界的初始函数φ（θ）＝（φ1（θ），…，φN（θ））T，ψ（θ）＝（ψ1（θ），…，ψN（θ））T∈C（（－ ∞，0］，RN），zi（t）＝（xi（t），Si（t））T是系统（2）满足条件（t）＝（φi（t），ψi（t））T，i＝1，2，…，N，－∞ ＜t≤0，的解。若存在常数λ＞0，K＞0，使得

则称系统（2）的平衡点＝（0，0）T，i＝1，2，…，N是全局均方指数稳定的。

定义3［13］如果对每个A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，且系统（2）的平衡点z＊＝（0，0）T是全局均方指数稳定的，则称系统（2）在均方意义下是全局指数鲁棒稳定的。

引理1［14］考虑完备概率空间 （Ω，｛Ft｝，Ρ） 上的自治泛函微分方程：

其中：

若f，G满足Lipschitz条件：

则系统（5）在［t0，T］上存在唯一连续的全局解。

引理2［11］（It定理）令u＝u（t，x1，x2，…，xd）是定义在［t0，T］×Rd上的连续函数且存在连续偏导数ut，uxi，uxixj，i，j＝1，2，…，d，若d维随机过程xi（t）在［t0，T］满足：

则随机过程u＝u（t，x1（t），x2（t），…，xd（t））的随机微分为：

引理3［14］若系统的平衡点在均方意义下是全局指数稳定的，那么网络是几乎必然一致指数稳定。

2 主要结果

定理1 假设下列条件成立：

（H1）：存在常数lj＞0，ξij＞0，i，j＝1，2，…，N，使得对任意x，y∈RN有：

（H2）存在常数μ＞0，使得

为证明方便，将系统（1）可化为：

由条件（H1）可以证明系统（14）等式右端系数满足Lipschitz条件，证明如下：

设

显然，由条件（H1），（15）和（16）可得

由（17）和引理1知系统（2）存在唯一满足初值条件xi（θ）＝φi（θ），Si（θ）＝ψi（θ），i＝1，2，…，N，θ∈（－ ∞，0］解Z（t）＝（X（t），S（t））T，且以概率1连续。再证：平衡点z＊＝（0，0）T在均方意义下全局指数稳定。

定义映射：

则由条件（H3）得：

定义Lyapunov泛函

根据引理2得：

由H（u）≥0，得

因此LV（t，x（t），S（t））≤0。

又因LV（t，x（t），S（t））≤0，所以有：

则根据定义3，系统（2）的平衡点z＊＝（0，0）T在均方意义下是全局指数稳定的，并且对每个A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，系统（1）在均方意义下是全局指数鲁棒稳定的，依据引理3，平衡点z＊＝（0，0）T也是几乎必然指数一致稳定的。即网路几乎必然指数稳定。注：由文献［5］知，S-分布时滞的系统包含了离散时滞和分布时滞的系统，反之不成立。因此，文献［2-4］研究的问题是本文研究问题的特例，本文推广了这些文献中的有关结果。另外，S-分布时滞还包含了无穷分布时滞［18］的情形。

3 仿真实验

考虑如下S－分布时滞随机竞争神经网络（N＝2）：

其 中fj（xj（t））＝sin（xj（t）），σij（xj）＝sin（xj（t）），ηj（t）＝，λj＞0，i，j＝1，2，

取pi＝1，i＝1，2，则满足定理1中的条件，从而系统在均方意义下是全局指数稳定的。

取初值条件 （2，－1，－3，2） 得仿真图像：

图1 初值取 （2，－1，－3，2）T时系统的仿真结果Fig．1 The simulation results of the system at initial value （2，－1，－3，2）T

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