一类新的多变量灰色MNGM（1，n，k）模型及其优化

曾 亮

（广东理工学院 基础教学部，广东 肇庆526100）

0 引 言

自灰色系统理论提出以来，GM（1，1）模型是受到关注最多、应用最广泛的模型，应用范围涉及了工业、农业、金融、水利、交通和能源等众多领域［1］，它主要是针对单变量序列的建模和预测.MGM（1，n）模型［2］是从系统的角度对各变量统一描述，能较好地反映系统中各变量间相互制约、相互促进的的关系，它是GM（1，1）模型在元变量情况下的自然推广，不是GM（1，1）模型的简单组合，文献［2］已经通过实例证明了多变量MGM（1，n）预测模型比多个GM（1，1）预测模型的预测效果要更好.

自多变量灰色MGM（1，n）模型提出以来，已有国内外大量学者对其改进做了深入研究，取得了一系列的研究成果，如文献［3-8］通过优化背景值和初始值等方式显著提高了预测精度.虽然MGM（1，n）模型及其改进模型在预测应用中取得的效果值得认可，但它们主要是针对具有准指数规律的原始序列矩阵，对近似非齐次指数规律的序列矩阵的预测效果并不理想［9］.

文献［9］针对原始序列为近似非齐次指数规律，首次提出了单变量NGM（1，1，k）模型，有效拓展了传统GM（1，1）模型的应用范围，但其仍存在形式固定、应用范围有限等缺陷［10］.为此，文献［10］和文献［11］分别进行了改进，取得了明显成效.本文在文献［2］和文献［9-11］的基础上继续改进及推广，针对近似服从非齐次指数增长律的原始序列矩阵，首次提出了多变量灰色MNGM（1，n，k）模型，并通过一系列数学推导得到了模型的时间响应式，拓宽了灰色系统的应用范围.为达到更高的预测精度，对新模型的背景值进行了优化，最后通过算例证明了其有效性.

1 多变量灰色MNGM（1，n，k）模型

1.1 模型的建立

为多变量灰色MNGM（1，n，k）模型.

则称一阶微分方程

为多变量灰色MNGM（1，n，k）模型的白化形式.

定理1 MNGM（1，n，k）模型之白化形式的解为

若以X（1）（1）为初始值，则MNGM（1，n，k）模型的连续时间响应式为

证明 由式（2）变形得

其中

从而可得参数矩阵A，参数向量B和C的辨识值分别为

则MNGM（1，n，k）模型的响应式为

还原值为

由于篇幅的原因，证明过程在此省略.

1.2 模型的分析

当n=1时，MNGM（1，n，k）模型退化为NGM（1，1，k）模型；当B=0时，MNGM（1，n，k）模型退化为传统MGM（1，n）模型.由此可知，MNGM（1，n，k）模型是传统MGM（1，n）模型和NGM（1，1，k）模型的扩展.

结合式（6）和（7）可得MNGM（1，n，k）模型时间响应式的还原值为

从式（8）和式（9）可以看出，MNGM（1，n，k）模型时间响应式的还原值为非齐次指数矩阵形式，而传统MGM（1，n）模型为齐次指数矩阵形式.因此，在利用传统MGM（1，n）模型对非齐次指数矩阵序列进行建模预测时，由于数据序列的分布特性并不一致，导致预测效果并不理想，甚至会出现较大误差.从理论分析可知，本文提出的MNGM（1，n，k）模型在一定程度上弥补了以上缺陷，这为后面的实际应用提供了理论依据.

2 多变量灰色MNGM（1，n，k）模型的优化

为能进一步提高预测精度，达到更好的预测效果，下面基于背景值的优化对模型做相应改进.

在区间［k-1，k］上，将方程（2）对应的n个白化方程两边同时取积分，可得

对比式（1）和式（10）可发现，所有变量的背景值的计算公式近似代替了1，2，…，n），即用直角梯形面积近似代替了曲边梯形的面积，而这正是误差的来源.因此，为提高模型的模拟预测精度，可以从优化背景值入手，直接利用作为第i个变量的背景值.

由式（4）可看出，MNGM（1，n，k）模型的一阶累加生成时间序列的响应式具有部分指数、部分线性的形式，为了尽可能消除由背景值带来的误差，不妨设

式中：αi，βi，γi，δi为待定常数，且满足

则

由式（15）可解得

将αi值代入式（14）可得

结合式（13）～（15），可得

又

将δi值代入式（20），可得

式中：αi，βi和γi的计算分别对应式（16）～（18），且记

利用优化后的背景值公式¯z（1）i（k）替换式（1）的z（1）i（k），然后依据相同的理论与方法可得到优化后 的MNGM（1，n，k）模 型（下 面 简 称 优 化MNGM（1，n，k）模型）.

3 算例分析

为 了 验 证MNGM（1，n，k）模 型 和 优 化MNGM（1，n，k）模型的模拟预测效果，本文参照文献［7］中的数据设计算例进行模拟分析.取x1（0）（k）=e0.3k+2和x2（0）（k）=e0.6k+3，令k=1，2，3，4，5，6，得两变量的原始数据序列分别为：

下面针对原始序列X（0）1和X（0）2分别建立传统的MGM（1，2）模型、本文提出的MNGM（1，2，k）模型和优化MNGM（1，2，k）模型进行比较分析.在建模过程中，取原始序列的前5个数据来建模，后1个数据用来检验模型预测的效果.经编程计算，得到两序列的MGM（1，2）模型之白化形式为

两序列的MNGM（1，2，k）模型之白化形式为

两序列的优化MNGM（1，2，k）模型之白化形式为

三种模型对序列X（0）1和X（0）2的模拟值、预测值和相对误差的比较结果见表1和表2.

由表1和表2可以看出，传统MGM（1，2）模型、MNGM（1，2，k）模型和优化MNGM（1，2，k）模型对序列的模拟的平均相对误差分别为0.98%，0.72%和0.18%，对序列的模拟的平均相对误差分别为4.97%，4.70%和1.84%，均依次递减.另外，对原始序列的一步预测的相对误差也有相同趋势.以上说明了MNGM（1，2，k）模型的模拟预测精度比传统MGM（1，2）模型高，对近似非齐次指数增长律的序列矩阵有更好的模拟预测效果，同时，MNGM（1，2，k）模型经优化后，模拟预测精度有显著提升.

表1 三种模型对序列X（0）1 的模拟值和相对误差比较 Tab.1 Comparing the simulation values and relative errors of the sequence X（0）1 among three models

表2 三种模型对序列X（0）2 的模拟值和相对误差比较 Tab.2 Comparing the simulation values and relative errors of the sequence X（0）2 among three models

4 结 论

灰色预测模型是灰色系统理论的重要组成部分，多变量灰色模型能较好地反映系统内部各变量之间相互影响、相互制约的关系，比单变量灰色模型具有更广的应用范围和更高的预测精度.本文针对近似非齐次指数规律的原始序列矩阵，首次定义并使用多变量灰色MNGM（1，n，k）模型进行建模预测，与传统MGM（1，n）模型相比较，具有更好的预测效果.然而MNGM（1，n，k）模型不能完全代替传统MGM（1，n）模型，它是MGM（1，n）模型的扩展和补充.经背景值优化后的MNGM（1，n，k）模型比原始MNGM（1，n，k）模型能显著提高预测精度，更具实用性.

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