一类非线性差分方程平衡解的稳定性与吸引性注记

李涛

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

一类非线性差分方程平衡解的稳定性与吸引性注记

李涛

（连云港开放大学，江苏 连云港 222006）

文中研究了如下形式的非线性二阶差分方程，通过对参数β的讨论,得到了该方程平衡点的稳定性的结论.

差分方程；平衡解；稳定性

差分方程主要研究离散系统的规律和行为，它的理论广泛应用于科学和经济研究中.k+1阶差分方程的一般形式如下xn+1=F(xn,xn-1,…,xn-k)，如果该方程右边的多元函数为有理函数时，方程为有理型差分方程，在文献[1]中研究了几类高阶的非线性差分方程，在文献[2]中研究了一类二阶差分方程，在文献[3]中研究了下述形式的差分方程：

1 预备知识及引理

令I为一实区间，考虑差分方程

其中，k为自然数且k≥1，函数F∈C(Ik+1,I)，关于每一个变量都有连续偏导数.

定义 1.2[1][4]设是方程（2）的一个解，点为差分方程（2）的一个平衡点：

(a)方程（2）的平衡点是局部稳定的，如果∀ε＞0，∃δ＞0，当时，对于所有的n≥-k，就有

(c)方程（2）的平衡点是一个全局吸引子，如果对于方程（2）的任意解

则方程

定理1.4[1][4]设F是一个连续可微函数，是 方程（2）的一个平衡点，则下列各条件成立：

(a)如果方程（2）的所有根位于单位圆|z|＜1内，则方程（2）的平衡点是局部渐进稳定的.

(b)如果方程（2）的根中至少有一个根的模大于1，则方程（2）的平衡点是不稳定的.

(c)如果方程（2）的所有根的绝对值都大于1，则方程（2）的平衡点是 一个源点.

定理1.5[1][4]设p0,p1,…,pk是实数，且|p0|+|p1|+…|pk|＜1，则方程(3)的所有根位于单位圆单位圆|z|＜1内.

2 主要结论

二阶差分方程（1）的平衡点是下面方程的非负解

〔1〕王小梅.几类非线性差分方程的定性[D].山西大学,2008.

〔2〕余廷忠.一类二阶有理差分方程的稳定性及计算机模拟[J].数学的实践与认识[J].2013,43(17):255-262.

〔3〕党红刚,何万生.一类非线性差分方程平衡解的稳定性与吸引性[J].天水师范学院学报,2011,31(2):26-28.

〔4〕E.A.Grove,,G.Ladas.Periodicitiesin Nonlnear Difference Eauations[M],Volume 4.Discrete Mathematics and A pplications,2005.

O415.5

A

1673-260X（2015）12-0001-02