基于静力测试的三维曲面结构测点优化配置*

刘 豪，胡昌华，周志杰，张正新，罗 阳

（第二炮兵工程大学，西安710025）

基于静力测试的三维曲面结构测点优化配置*

刘 豪，胡昌华*，周志杰，张正新，罗 阳

（第二炮兵工程大学，西安710025）

传感器测点优化配置在结构健康监测系统中具有重要作用。针对结构健康监测中静力作用下三维曲面结构变形状况进行了研究，提出了三维曲面结构的测点优化配置方法。首先，对三维曲面结构进行测点组合选取，根据已知测点的响应值采用三维超曲面样条函数插值估计未布置测点的响应值，然后建立适应度函数，对未布置测点的估计值与实际值的误差进行判定，最后通过二重结构编码遗传算法对测点组合进行优化，选取适应度函数值最小的测点配置方案，从而实现了传感器测点优化配置的目的。应用该方法对简支的圆柱壳弯曲变形进行了测点优化配置，得到的适应度函数值最小的测点配置方案中，未布置测点的估计值与实际值的误差为1.10%，从而验证了该方法的可行性和有效性。

传感器；测点优化配置；三维超曲面样条函数插值；二重结构编码遗传算法；三维曲面结构

在结构健康监测、结构实测和结构控制等方面，为获得结构的状态信息都需要考虑传感器测点配置。从理论上讲，测点的数量越多，能获取的结构状态信息越多，越能够辨别出结构的状态。但限于结构所处的环境状况及所需的设备费用和工作量等因素，在具体测试中都是希望用尽可能少的传感器测点来获取尽可能多的结构状态信息［1］。

以往传感器测点优化配置研究大多集中于桥梁结构，由于桥梁承受的是动态载荷，所以这些研究都是基于结构动态响应及模态分析的，如Kammer的有效独立法［2］，Breitfed的MAC矩阵法［3］，Guyan的模型缩聚法［4］等，这些方法适用性广，可广泛的应用于一维、二维和三维结构中；而基于静力的应力、变形等测试下的测点优化配置研究比较少。但在实际工程中，许多结构是承受固定载荷的，在长期较大的固定载荷作用下结构会发生变形、疲劳破坏，严重时会导致结构失效，如火箭加注推进剂状态下贮存问题、大型机械结构健康监测问题等。因此，许多测试项目需要研究静力测试下的传感器测点布置，并且和动力测试下的研究比起来，用静力测试做损伤识别时影响求解精度的因素较少，算法也比较简单，需要做的工作量也较少。所以，研究基于静力测试的传感器测点优化配置是非常必要的。近年来，许多学者对基于静力测试的传感器测点优化配置开展了广泛的研究。白苗苗等给出了一种基于遗传算法的传感器优化布局方案，并用它重建最高精度的爆炸超压场［5］；淡丹辉等提出了一套基于关心截面插值拟合误差最小准则的传感器优化配置方法［6］；李正农提出了基于组合原理的结构测点二维优化配置方法［7］；李德春等提出了一种基于克隆选择和离散粒子群混合算法优化新型适应度函数的应变传感器优化布置方法［8］。然而，这些研究都仅考虑一维条件下（一条线）和二维条件下（一个平面）的测点优化配置，而对三维条件下（如三维曲面）的测点优化配置研究比较少。因此这些方法仅适用于梁、板类的一维和二维结构，而不能扩展到三维曲面结构、壳体结构中。但在实际应用中，三维曲面结构，如圆柱壳体等广泛应用于建筑、机械、航空等工程中。壳体结构在承载作用下的弯曲、扭转等都需要考虑其变形对结构状态的影响。因此对三维曲面结构进行静力测试下的测点配置研究具有很高的实用价值［9］。

1 三维曲面结构测点优化配置方法的提出

常用的静力测试下的结构测点优化配置方法大多是基于静力作用下结构变形测试的。依据位能最小原理，满足连续性和真实几何边界约束条件下可以假设二维结构的位移形状函数如下：

根据结构实际受力条件和位移边界条件得到结构的位移形状函数，通过位移函数确定各计算分析的节点位移w（x，y）。在结构实测中，选择一些节点作为测点布置，通过测点的变形位移值采用插值算法估计未布置测点的节点位移值w*（x，y）。选择合适的测点配置组合，使得未布置测点的节点位移估计值w*（x，y）与其理论分析值w（x，y）之间误差最小。这种方法仅适用于可以精确计算出其位移形状函数的形状简单的一维、二维结构，如悬臂梁、悬臂矩形板等。然而对于形状复杂的结构和三维结构却不适用。

基于此，本文提出了一种适用于形状复杂的三维曲面结构的测点优化配置方法。该方法思路如下：

三维结构的位移形状函数可假设如下：

根据配置的n个测点的变形位移值wi（x，y，z）通过插值方法得出三维结构的位移形状函数。然后将未配置测点的节点坐标代入结构的位移形状函数，算得这些节点的变形位移值。建立一个能反映这些节点的真实位移变形值与插值计算出的位移变形值误差的适应度函数。选择相应的优化算法对选取的测点组合进行优化，选择出使误差值最小的测点组合［10］，从而实现了传感器测点优化配置的目的。

该方法步骤如图1所示。

图1 三维曲面结构测点配置方法步骤

2 三维曲面结构测点优化配置方法

2.1 结构测点选取

在对结构进行静态变形分析时可以多取一些节点进行计算以获得比较详细的结构变形数据，这些节点的选取应当能够比较详尽的反应结构的变形状态，而且应便于插值计算。因此应在位移变形变化较大的位置选取较多的节点，并且尽量围绕受力位置对称分布。在结构实测时从这些节点中选取一些作为测点来配置。在选取测点时，根据区域梯度理论，可按照位移等值线密集程度的不同，可将一个变形体划分为若干区域，等值线密集的区域说明其梯度大，位移变化速率大，测点配置数目就多，同理，等值线稀疏的区域，测点配置数目就少［11］。依据此理论来选取测点组合。

2.2 三维超曲面样条函数插值估计未配置测点的响应值

依据位能最小原理，位移挠曲形状函数应满足位移连续性和真实几何边界约束条件。因此，变形后的三维曲面仍是连续、光滑的曲面。利用有限的已知测点的变形位移值估计未配置测点的节点的变形位移值，进而得到整个曲面的位移变形，就需要用到三维空间插值。三维空间插值就是根据已知的三维空间位置（xi，yi，zi）上变形值w（xi，yi，zi）构造一个插值函数，使之与理论分析计算所得的变形值相吻合，然后将研究区域内任意位置的坐标代入插值函数，从而得到研究区域内任意位置的变形值。目前，三维空间插值方法大都由二维插值方法扩展而来。曲面样条函数插值［12］在对两个自变量的曲面函数进行逼近时，可以得到较符合实际的曲面。基于其扩展而来的三维超曲面样条函数则可以用来对三维空间曲面的变形值进行插值计算，得到较好的符合实际的三维曲面上的变形值。

三维超曲面样条函数的表达式为［13］：

式中：W（x，y，z）是空间各点（x，y，z）上的属性值，如位移、应变等；a0，a1，a3，a4，Fi，i=（1，2，…，n）为待定系数；其中；ε为调节曲面曲率大小的经验参数，当曲面曲率变化较大时，e要取得小些，反之取大些。一般对平坦曲面取ε=1～10-2，对有奇性的曲面取ε=10-5×10-6。式中的n+4个未知数a0，a1，a3，a4，Fi，i=（1，2，…，n）可以通过下列方程组求得：

式中：cj=16πD/kj。kj是关于点j的弹性常数，若kj→∞，则cj→0。取cj=0，以使求出的超曲面样条函数在已知点与原始数据吻合。该方程组的矩阵表达式为：

式中，各项表示如下：

式中，

可以使用Householder变换解此方程组。求出待定系数后，只需将所需的未布置节点的位置坐标（x，y，z）代入式即可利用超曲面样条函数插值估计未布置测点的节点变形位移值。

2.3 适应度函数的确定

为了进行测点配置效果的判断，需建立三维曲面结构测点配置的适应度函数，通过适应度函数大小对三维测点组合配置方案中未布置测点的估计值与实际值的误差进行判定。在以往的研究中，考虑静力测试下的一维和二维结构测点布置中，对未布置测点的估计值与实际值的误差建立适应度函数，常用的方法有比例因子法、MAC法和差和平均误差最小法。因此，可以将这些方法扩展应用到三维条件下。对比以前学者在一维和二维条件下应用这三种方法的研究，结果表明：当测点数目、位置改变时，比例因子法和MAC法所得到得适应度函数值变化幅度小，而差和平均误差最小法所得到适应度函数值变化幅度大，变化趋势明显；当采用不同的插值算法估计未布置测点的响应值时，比例因子法和MAC法所得到得适应度函数值变化不敏感，不能准确的反映所采取的插值算法的优劣，而差和平均误差最小法所得到的适应度函数值变化敏感，可以精确地反映所采取的插值算法估计未布置测点响应值的准确程度。因此，为便于直观、清晰的比较不同测点配置方案下适应度函数值的差别，选出最优的测点配置方案，同时验证所采取的三维超曲面样条函数插值确实能较好的估计未配置测点的响应值，本文采用差和平均误差最小法建立适应度函数。三维结构划分n个节点，其中取p个节点作为配置测点，剩下的q个节点未配置测点。三维条件下选用差和平均误差最小法建立适应度函数形式为：

式中的uai为节点计算分析位移向量，其中包含p个节点的测量值和由这p个节点通过三维超曲面样条函数插值所得出的q个节点估计值；ubi为实际测量的节点变形位移量。此适应度函数数值就反映了通过插值计算的节点变形位移量ua和实测的节点变形位移量ub的相似程度，若f（a，b）→0，说明三维测点插值计算的节点变形位移量ua和实测的节点变形位移量ub完全相似。

2.4 确定测点的最优配置

在三维曲面结构节点中选取使适应度函数值尽可能趋近于0的测点组合（即使插值计算出的未布置测点的估计值和实测值之间误差最小），这样的测点组合是最优的测点配置方案。这种将给定数量的传感器配置在最优位置上的问题实际上是组合优化问题里的0-1规划问题，可以用应用动态规划法、分支界限法、模拟退火算法和二重结构编码遗传算法来求解。但是通过以前学者的研究表明，二重结构编码遗传算法在求解背包问题上和其他算法相比，具有收敛快、搜索速度快、不易陷入最优解等优点［14］，因此本文选用二重结构编码遗传算法来求解最优的测点位置组合［15-16］。

二重结构编码遗传算法是在传统遗传算法的基础上进行改进的方法之一。其主要思想是：采用长度固定的二进制字符串编码，群体中的个体则可以用二进制字符串表示。有限元模型中节点i为传感器测点配置的考虑位置，当节点i基因值为1时，则将传感器测点布置在第i个节点；当节点i基因值为0时，则第i个节点不布置测点。二重结构编码方法可避免因采用传统的编码方法，在进行交叉和变异操作时，由于改变基因码1的个数而改变传感器配置的数量［17］。

2.4.1 二重结构编码：

二重结构编码方法如表1所示，个体染色体表示的二重结构由变量码和附加码两行组成，上行s（i）表示变量xj的附加码为si=j，下行为变量xs（i）对应于附加码s（i）的值。

表1 二重结构编码

对某个个体编码时，首先在上行随机产生附加码{s(i),(i=1,2,…,m×n×s)}，然后随机产生下行的变量码值（0或1），这样构成一个个体的二重结构编码。

2.4.2 目标函数的选择

遗传算法中的目标函数是一个最大化问题，而测点配置效果的适应度函数却是希望其趋于0的，因此应对适应度函数进行转化。则目标函数可表示为

式中ubi为实际测量的节点变形位移量，uai中对应附加码的变量码的值为1时，uai的值取对应的ubi的值，其余的uai的值通过插值函数求得。

2.4.3 遗传算子的设计

对于选择算子，采用最优保存策略，即在每代进化结束后，找出当前群体中的适应度最好的个体，用它来替代本代群体中适应度最低的个体。

对于交叉操作，采用部分匹配交叉算子（PMX）。即在父个体中随机选取两个交叉点，确定交叉点间的中间段为匹配段，匹配段相互交换，而交叉点两边的本分首先保留从其父个体中继承码，剩余部分根据匹配段所确定的映射关系确定。在交叉操作中，二重结构编码PMX操作仅针对个体的第1行附加码进行，而子个体的第2行变量码顺序不受影响，如图2所示。

图2 交叉操作

对于变异操作，采用逆位遗传算子。对父个体随机选择两个变异点，两点间的上行附加码按相反顺序重新排列，下行变量码顺序不变，如图3所示。

图3 变异操作

2.4.4 控制参数选择

为避免遗传搜索陷入停滞状态和局部极值，交叉概率PC可选为0.6，变异概率Pm可选为0.001。

综上所述，本文首先对三维曲面结构进行网格划分，从诸多节点中按照区域梯度理论选择测点组合；而后根据已知测点的响应值采用三维超曲面样条函数插值估计未布置测点的响应值；然后建立一个能反映布置测点的估计值与实际值的误差的适应度函数；最后通过二重结构编码遗传算法对测点组合进行优化，选取适应度函数值最小的测点配置方案。应用该方法实现对形状复杂的三维曲面结构的测点优化配置。下面通过一个算例验证该方法的有效性。

3 算例仿真验证

三维曲面承载结构在工程中随处可见。以比较经典圆柱壳结构中的圆筒为例，圆筒作为长期贮存液体，气体等的器件在机械，航空工程中广泛应用。由于其长期承载，会引起筒壁的变形，严重时会引起筒壁的破坏，导致贮存液体的泄露等。因此，对受力作用下的圆柱壳结构进行基于变形量测的测点优化配置，进而估计其承载能力，推算其失效时间具有重要意义。

3.1 圆柱壳受力变形分析

一对边简支的圆柱壳，在其中心作用一个垂直的集中载荷P，圆柱半径R，圆柱长度L，壳厚度t，简支边相对对称中心的转角为θ。结构简图如图4所示。

图4 结构简图

代入数值P=1 000 N，R=15 cm，L=12 cm，θ= 60°。对其进行具体数值的受力分析时，可以简化为简支边下部的壳体进行有限元受力分析，如图5所示。

图5 受力分析简图

利用Ansys有限元软件进行受力分析，圆柱壳下部的曲面进行网格划分时，划分了36个单元，49个节点。对圆柱壳下部曲面的两条边施加固定铰链约束，在曲面的中心处施加1 000 N的力作用。反映在Ansys有限元软件里即对此两条线段施加“UX”、“UY”、“UZ”、“ROTX”、“ROTY”约束类型，在曲面中心节点37处施加一垂直的集中载荷，FY=-1 000。施加约束和载荷后的模型如图6所示。

图6 施加约束和载荷后的Ansys模型

根据Ansys有限元分析软件解得的各节点的变形值如表2所示，弯曲变形图，位移等值线图如图7、图8所示。

表2 Ansys节点变形值

图7 弯曲变形图

图8 位移等值线图

3.2 圆柱壳曲面测点配置

应用区域梯度理论对圆柱壳曲面变形测点进行配置。选用49个节点中的12个～20个作为传感器配置测点。其中，组合方案①选取12个节点配置测点；组合方案②选取15个节点配置测点；组合方案③选取18个节点配置测点；组合方案④选取20个节点配置测点。应用MATLAB程序对此4组不同测点数目的配置方案，采用三维超曲面样条函数插值估计未布置测点的节点响应值，并计算出四种组合方案的适应度函数值。各种测点配置方案的适应度函数值如表3所示。

表3 各测点配置方案的目标函数值

比较分析表中各组适应度值可得，适应度值随未配置测点数目增大而减小，但相差不大。同时可求出这四种测点组合方案求出的未配置测点响应值与真实值之间的误差值分别为1.84%、1.69%、1.60%、1.59%，表明三维超曲面样条函数插值能较好的估计未配置测点的响应值。

3.3 应用遗传算法原理对测点组合进行优化

选取15个节点作为测点，应用二重结构编码遗传算法对此圆柱壳结构测点进行优化配置，求出15个测点配置的寻优过程中目标函数最大的测点组合。最终求得的15个测点配置的最优节点编号为1、2、6、9、14、18、22、31、34、37、39、41、43、47、49。其对应的适应度函数值为0.382×10-4，误差值为1.10%。选择此15个节点作为配置测点，得出的各个节点的实测值与插值计算的分析值对比如图9所示。

图9 实测值与插值计算的分析值对比图

根据图8可以看出：①测点配置在节点变形曲线的峰值处时，得到的节点变形曲线更贴合实测的节点变形曲线；②在测点配置密集的区域，得到的插值变形曲线比测点配置稀疏的区域的变形曲线，更贴近实测变形曲线。③由于三维超曲面样条函数仅是一种数学方法，在实际应用中应结合实际情况对其附加一些实际条件约束。这都是与实际相符的，也证明了本文提出的方法是正确、合理的。

4 结论

基于二重结构编码遗传算法对三维曲面结构测点优化配置进行研究，可以得出如下结论：

①应用二重结构编码遗传算法能很好地解决基于静力测试下的三维曲面结构测点的优化配置。

②采用三维超曲面样条函数插值估计三维曲面结构上未配置测点的响应值具有较高精度。

③本文建立的适应度函数能较好的反映三维曲面结构的位移变形，通过适应度函数数值大小选取未配置测点值之间误差值最小的测点组合为最优配置测点。

④对圆柱壳曲面结构弯曲变形实测中的测点进行优化配置，数值优化结构表明该方法具有较高的精度，可广泛的应用于三维曲面结构传感器测点的配置中。

［1］刘昊灵，仲元昌，杨柳等.基于三峡库区水环境监测的WSN信号融合算法［J］.传感技术学报，2012，25（12）：1762-1765.

［2］Kammer D C.Sensor Placement for On-Orbit Modal Identification and Correlation of Large Space Structures［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2012，14（2）：2984-2990.

［3］Breitfeld T.A Method for Identification of a Set of Optimal Measurement Points for Experimental Modal Analysis［J］.Modal Analysis：The International Journal of Analysis and Experimental Modal Analysis，1996（11）：254-273.

［4］Guyan R J.Reduction of Stiffness and Mass Matrices［J］.American Institute of Aeronautics and Astronautics，1965（2）：380-380.

［5］白苗苗，郭亚丽，王黎明.基于爆炸超压场重建的传感器优化布局技术研究［J］.传感技术学报，2014，7（7）：886-892.

［6］淡丹辉，何广汉.基于静态应变测量桥梁结构传感器优化配置法［J］.工程设计cad与智能建筑，2002，2（15）：53-56.

［7］李正农，胡尚瑜，李秋胜.结构试验测点的二维优化配置［J］.工程力学，2009，26（5）：153-158.

［8］李德春，何龙军，陈媛媛等.基于改进粒子群算法的应变传感器优化布置［J］.振动、测试与诊断，2014，34（4）：610-615.

［9］路玲玲，王曦，黄晨光.结构健康监测系统中传感器优化布置组合算法［J］.力学与实践，2012，34（2）：81-84.

［10］梅举，陈涤，辛玲.基于蒙特卡洛方法的移动传感网节点定位优化算法［J］.传感技术学报，2013，26（5）：689-694.

［11］赵俊.结构健康监测中的测点优化配置方法研究［D］.暨南大学，2011.

［12］Harder R L，Desmarais R N.Interpolation Using Surface Splines［J］.Journal of Aircraft，1972（9）：189-191.

［13］芮小平，余志伟，郁福梅.一种基于超曲面样条函数的三维空间插值方法［J］.地理与地理信息科学，2006，22（6）：21-23.

［14］刘正龙，杨艳梅，罗玉宝.基于二重结构编码遗传算法求解背包问题的研究［J］.计算机技术与发展，2013，23（7）：112-115.

［15］刘娟，黄维平.二重结构编码遗传算法在传感器配置中的应用［J］.振动、测试与诊断，2004，24（4）：281-284.

［16］周磊，张力文，周建庭.基于二重结构编码遗传算法的连续刚构桥传感器优化配置［J］.公路，2014（11）：677-682.

［17］伊廷华，李宏男，顾明.结构健康监测中基于多重优化策略的传感器布置方法［J］.建筑结构学报，2011，32（12）：217-223.

刘豪（1991-），男，河南南阳人，硕士生，主要从事故障诊断、故障预测方面的研究，976532728@qq.com；

胡昌华（1966-），男，湖北罗田人，教授，长江学者，博士生导师，博士，主要从事故障诊断、可靠性工程方面的研究，hch6603@263.net。

Research on Optimal Sensor Location for Three-Dimensional Curved Surface Structure Based on Static Stress Test*

LIU Hao，HU Changhua*，ZHOU Zhijie，ZHANG Zhengxin，LUO Yang
（The Second Artillery University，Xi'an Shaanxi Province，Xi'an 710025，China）

Optimal sensor location plays an important role in the structural health monitoring system.The paper provides an optimal sensor location methodology for three-dimensional curved surface structure.The proposed method is based on the deformation of the structure under the action of static stress in structural health monitoring system.Firstly，the combination of the measured points on the three-dimensional curved surface structure is selected so that the response at unmeasured locations can be predicted by the information from these measured points using three-dimensional surface splines interpolation.Secondly，fitness functions are adopted to estimate the error between the predicted response and the practical response of these unmeasured locations.Lastly，selecting optimal combination of measuring points is achieved by minimizing the error of the estimate and the actual value at unmeasured to realize the optimal goal locating the measured points.To validate the proposed method，we apply this method to the bending deformation of simply supported cylindrical shell to optimize the arrangement of measured points，and according to the project of the optimal sensor location，the error between the predicted response and the practical response of these unmeasured locations is 1.10%.Then the results prove that the proposed method is feasible and efficient.

sensor；optimal sensor location；three-dimensional curved surface structure；double structure coding genetic algorithm；three-dimensional surface splines interpolation

TU317；TP212.9

A

1004-1699（2015）08-1176-08

��6140

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.08.013

项目来源：国家杰出青年基金项目（61025014）；国家自然科学基金项目（61370031）

2015-01-19 修改日期：2015-05-04