人口的模型解

李明

（安徽文达信息工程学院 通识学院数学教研室，安徽 合肥 231201）

人口的模型解

李明

（安徽文达信息工程学院 通识学院数学教研室，安徽 合肥 231201）

人口过多一直制约着我国经济的发展，而且已经给社会带来很多的问题.计划生育已经使得我国人口增长速度得到很好的遏制.长期以来，人类的繁衍一直在进行着.研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律以及如何进行控制等势在必行.本课题对人口的各种模型进行分析，以期得到很好的预测和控制.本课题以微分方程知识为基础，建立和补充不同的人口模型，并且得到不同的模型解.如指数增长模型、阻滞增长模型、考虑年龄结构和生育模式的模型、随机人口模型、多集团人口模型等等，在人口发展中它们都有自身的例子，对于人口预测和控制很有研究的必要.但是有的模型过于简单，需要修正；有的模型前人没有深入，需要补充.这些模型可以为有效控制人口以强有力的平台，也可以补充和完善人口发展方程的一些理论和证明.

阻滞增长；指数增长；人口模型

1 引言

人口方程的研究是古老而又崭新的课题，近年来越来越受关注.国内外学者一直在致力于研究人口系统的最优控制问题.人口方程来源于偏微分方程、数学物理方程，是Boltzmann方程的一个分支，其中的理论博大精深.

数学物理方程不仅在理论上还是应用上发展的都很迅速，它还在扩散、运输理论、混沌、流体力学等诸多领域得以应用.整体看来，人口方程主要偏重于理论研究，所得的结果对我国的计划生育政策产生过很大的影响.

本课题主要以理论研究为主，对于人口可能出现的模型加以分析，解释各种人口参数，也为人口控制作个很好的铺垫.

2 人口模型

2.1 指数增长模型

18世纪末，马尔萨斯在研究了百余年的人口统计资料后认为，在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）为常数.

设时刻t的人口为N(t)，净相对增长率为r，在开展人口设置的时候，最好把净相对增长率N(t)作为一个连续的变量因素考虑.根据马尔萨斯的计算理论，在t到t+Δt时间内人口的增长量为

设t=0时人口为N0，既有N|t=0=N0

我们易求得其解为

如果r＞0，式（1）则表明人口将以指数规律无限增长.特别的，当t→∞时，将会有N(t)→∞，而地球提供给人类的空间却是有限的.

这个解前期可以和人口统计数据相吻合，但是与19世纪的人口统计数据有相当大的差异.因而这个模型只可以对人口用来做短期.预测分析表明，这种现象的主要原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用作用越来越显著.人口较少时，人口的增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少.因此，需要对上述指数模型关于净相对增长率是常数的基本假设进行修改.

2.2 阻滞增长模型

在这里用Nm表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数，并假定净相对增长率等于，即净相对增长率随着N(t)的增加而减少，当N(t)→Nm时，净相对增长率趋于零.这样，指数模型中的方程就变为

仍给出与指数增长模型相同的初始条件N|t=0=N0

则该方程的解为

容易看出，当t→∞时，N(t)→Nm.

经过计算发现其结果与实际情况比较吻合.

但是这个模型还是比较简单，因为它们都没有考虑年龄结构.事实上，在人口预测中人口按年龄的分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别，两个国家或地区目前人口一样，如果一个国家或地区年轻人的比例明显高于另一国家或地区，那么二者人口的发展状况将大不一样.

因此，对上述模型要增加一个关于年龄的变量.

2.3 考虑年龄结构的人口模型

使人口数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移.为简化起见，只考虑自然的出生与死亡，不计迁移等社会因素的影响.

为研究任意时刻不同年龄的人口数量，引入人口的分布函数和密度函数.时刻t年龄小于r的人口称为人口分布函数，记作F(r,t)，其中t,r(≥0)均为连续变量，设F是连续、μ (r,t)p(r,t)dr可微的.时刻t的人口总数记作N(t)，最高年龄记作rm，理论推导时设rm→∞.于是对于非负非降函数F(r,t)，有F(0,t)=0,F(rm,t)=N(t)

p(r,t)dr表示时刻t年龄在区间[r,r+dr)内的人数.

为了得到p(r,t)满足的方程，考察时刻t年龄在[r,r+dr)内的人到时刻t+dt的情况.他们中活着的那一部分人的年龄变为[r+dr1,r+dr+dr1)，这里dr1=dt.而在dt这段时间内死亡的人数为μ(r,t)p(r,t)drdt.于是

上式可写作

注意到dr1=dt，就可得到

这是人口密度函数p(r,t)的一阶偏微分方程，其中死亡率μ(r,t)为已知函数.

方程（2）有两个定解条件：初始密度函数记作p(r,0)=p0(r)；单位时间出生的婴儿数记作p(0,t)=f(t)，称婴儿出生率.p0(r)可有人口调查资料得到，是已知函数；f(t)则对预测和控制人口起着重要的作用，后面将对它进一步分析.将方程（2）及定解条件写作

这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定出密度函数p(r,t)以后，立即可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数

方程（3）的求解过程很难，只给出了一种特殊情况下体现出来的结果，社会发展如果安定还有就是发展状态不太长的时候，死亡率和时间的关系不大.于是和近似的假设μ (r,t)=μ(r).这时（3）的解为

这个解可以粗略的描述人口发展状态，可是它还没有足够考虑人口的生育模式，还要做进一步的推究.

2.4 考虑生育模式的人口模型

在方程（3）或解（4）中p0(r)和μ(r)可从人口统计数据得到，μ(r,t)也可由μ(r,0)不完全统计，能够预测以及控制人口的整体状态，在这个过程汇总要关注和开展控制手段调节出生率f(t)，下面对f(t)作进一步分解.

记女性性别比函数为k(r,t)，即时刻t年龄在[r,r+dr)的女性人数为k(r,t)p(r,t)dr，统计这些女性在单位时间内平均每人的生育数量，并记作b(r,t)，设育龄区间为[r1,r2]，则

由（7）式得到的结果是，β(t)是时刻t的单位时间内能有效的平均到每个育龄女性的生育数.如果全体育龄女性在育龄期都保持稳定的生育数，同时也表示平均每个可生育女性一生总的生育数量，也就是我们所说总和生育β(t).所以β (t)称为总和生育率（简称生育率）或生育胎次.

从（5），（6）两式及b(r,t)的含义立即得到，年龄是女性生育的重要因素，是我们所说的生育模式h(r,t).如果环境稳定我们可以感觉与t关系不大，即h(r,t)=h(r).我们可以统计在那些年龄阶段的生育年龄的整体变化情况，最好要结合人口的统计资料.在开展理论分析，运用借用概率论的Γ分布分析方法可以得到有效.

可以看出，提高晚婚，增加晚育.

人口发展方程（3）以及单位时间出生的婴儿数f(t)之间的关系来建立表达式，开展了连续发展模型的构建.在模型中死亡率函数μ(r,t)性别比函数k(r,t)，和初始密度函数p0(r)有所提高，函数要通过人数的统计资料来得到，或通过资料来开展预估，要不断控制人口发展过程.有效的控制生育率的发展，所以要控制生育的早晚以及疏密.计划生育就是通过这两种模式开展的.在上面的模型中，密度函数以及分布函数是对人口的完整描述，在开展运行的时候还是有很多的问题存在.而生育率β(t)和生育模式h(r,t)则是可以用于控制人口发展过程的两种手段.β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密.我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的.

下面讨论人口指数：

在上面的模型中，密度函数p(r,t)或分布函数F(r,t)固然是人口发展过程最完整的描述，但是使用起来并不方便.在人口统计学中，常用一些所谓人口指数来简明扼要的表示一个国家或地区的人口特征.下面是一些人口指数的定义以及它们与p(r,t)等数量之间的关系.

（3）平均的寿命 它表示时刻t出生的人无论活到什么时候，死亡率都按时刻t的μ(r,t)计算，这些人的平均存活时间，记作S(t).

实际上是预估寿命.通常说目前平均寿命已经达到多少岁，是指今年出生婴儿的预估寿命，即S(0).根据统计资料得到当前的死亡率μ(r,0)后就可以计算出S(0)了.

如果在一个国家平均的年龄比较大这个国家的健康指数就越大；尤其是相邻两个国家开展比较，如果一个人在有限的时间创造出来是生产率比较高，工作时间比较长，那么这个国家的老龄化指数就比较小.

现在统计我们的人口数量，要有效的控制生育率、通过降低人口增长速度，控制老龄化指数不要太高.

（5）劳动力供养指数

在男性和女性有劳动能力的年龄区间统计上面，要先了解全体人民的劳动能力，还有每个劳动力的供养人数.

其中[l1,l2]和[l'1,l'2]分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，L(t)是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数ρ(t)表示平均每个劳动者要供养的人数.

可见，如果给出了既定的生育率、死亡率等相关数据以后，对人口开展预测，可以确定模型的情况.从实际情况考虑，一个人关于出生和死亡限制不是很低是有很大的随机性，预测的准确性也很低.这就需要建立随机人口模型.

2.5 随机人口模型

我们可以用确定性模型描述人口的发展，对于特定的国家和地区来考虑，所以数量是很庞大，运用总数计算出来的平均生育率、死亡率去代替出生、死亡的概率有很大的不准确性，开展人口的连续变量的处理方式.但如果我们有一个村庄来作为研究，数量减少，但要运用离散随机的变量看待时刻t的人口用随机变量X(t)表示，X(t)只取整数值.记Pn(t)为X(t)=n的概率.n=0,1,2,….对出生和死亡率进行概论研究，找寻Pn(t)的变化规律，得到人口X(t)的期望以及方差，在随机情况下不断的描述人口的总体发展状况.

一般的，如果X(t)=n，对人口在t到t+Δt的出生和死亡做些很小的假设（Δt很小）.如果说出生一人的概率假设与Δt成正比，记作bnΔt，出生二人及二人以上的概率为o(Δt)；死亡一人的概率也假定与Δt成正比，记作dnΔt，死亡二人及二人以上的概率为o(Δt)；出生与死亡假定是相互独立的随机事件；进一步假设bn均与dn成正比，不妨记bn=λn,dn=μn，λ和μ分别是单位时间内n=1时一个人出生和死亡的概率.

为了得到pn(t)的方程，开展随机事件X(t+Δt)=n的考察.将它分解为以下一些互不相容的事件之和，在假设中，可以得到这些事件的概率：

X(t)=n-1，且Δt内出生1人，概率为pn-1(t)bn-1(t)Δt；X(t) =n+1，且Δt内死亡1人，概率为pn+1(t)dn+1(t)Δt；X(t)=n，在Δt内无人出生或死亡，概率为pn(t)(1-bnΔt-dnΔt)；X(t)=n-k(k≥2),Δt内出生k人，或X(t)=n+k(k≥2)，Δt内死亡k人，或X(t) =n，Δt内出生且死亡k人(k≥2)，这些事件的概率均为o(Δt).

由全概公式有

由此可得关于pn(t)的微分方程

特别的方程可为

若初始时刻（t=0）人口为确定数量n0，则pn(t)的初始条件为

（9）式对于不同的n是一组递推方程，在（10）下的求解过程非常复杂，且没有简单的结果.通常人们对其解并不关心，感兴趣的只是X(t)的期望简记作E(t)和方差D(t).

可求得E(t)=n0ert,r=λ-μ.这个结果和指数模型形式上完全一致.

D(t)大小表示了人口X(t)在期望值E(t)附近的波动范围.（11）式说明这个范围不仅随着时间的延续和净增长概率r=λ-μ的增加而变大，而且即使当r不变时，它也随着λ和μ的上升而增长.即，当出生和死亡频繁出现时，人口的波动范围变大.

3 结果分析

以上这些模型，可以反映人口发展的一些状态.前面4种模型，都是确定性的，后文可以构建其他模型，有了它们可以给人口预测和控制提供一个理论支持.最后一个模型是随机性的，这与实际人口相一致，不过通过数学手段研究，也要有理想化的要求，诸如以上很多种假设，最终它的解回到确定性上，后文可以建立更复杂的随机人口模型.

〔1〕沈建红，等.数学建模[M].清华大学出版社，2011.

〔2〕姜启源，等.数学建模[M].高等教育出版社，2011.

〔3〕李明.非线性依赖年龄的人口动态最优收获[J].阜阳师范学院学报，2006,4（23）：61-64..

〔4〕李明.定常人口的最优控制[J].中国校外教育，2013（9）: 44-45.

O158

A

1673-260X（2015）09-0001-03

安徽文达信息工程学院资助（XZR2014B02）