非齐次树上马氏双链的一个强极限定理

金少华，赵旋，王东

（河北工业大学理学院，天津300401）

非齐次树上马氏双链的一个强极限定理

金少华，赵旋，王东

（河北工业大学理学院，天津300401）

树指标随机过程已成为近年发展起来的概率论的研究方向之一.强极限定理一直是国际概率论界研究的中心课题之一.通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了一类非齐次树上马氏双链的一个强极限定理.

非齐次树；鞅；马氏双链；强极限定理

1 前言

树指标随机过程已成为近年发展起来的概率论的研究方向之一.强大数定律一直是国际概率论界研究的中心课题之一.文献［1］研究给出了非齐次树上马氏信源的一类Shannon-McMillan定理.文献［2］研究了Cayley树指标有限状态非齐次Markov链的强大数定律和渐近均分割性（AEP）.文献［3］首先给出了在可列状态空间取值的二叉树上分枝马氏链定义的离散形式，然后建立了二叉树上分枝马氏链的若干强大数定律，最后研究给出了二叉树上有限状态分枝马氏链的强大数定律.文献［4］研究了m根Cayley树指标m阶有限状态非齐次Markov链的一些极限性质.文献［5］研究了Bethe树上非齐次马尔科夫随机场的一类强偏差定理.文献［6］研究了一类非齐次树上连续状态马氏泛函的若干强偏差定理.文献［7］研究了马氏双链函数的一个强大数定律.利用该定律，本文给出了马氏双链从一个状态到另一个状态转移概率的极限性质，推广了经典马氏双链的极限性质.通过构造适当的非负鞅，将Doob鞅收敛定理应用于几乎处处收敛的研究，研究给出了一类非齐次树上m重连续状态非齐次马氏链的强大数定律.

2 定义

设T是一个具有根顶点O的无限树，｛Nn，n≥1｝是一正整数集，如果第n（n≥0）层上的每个顶点均与第n+1层上的Nn+1个顶点相邻，称T为广义Bethe树或广义Cayley树.特别地，若对非负整数集N，用模m（m≥2）的同余关系对其分类得到模m的剩余类：

当n∈（i）时，令Nn+1=αi（αi均为正整数且不同时为1），i=0，1，2，···，m-1，就得到了一类特殊的非齐次树Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示树Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）层上所有顶点的子图，Tn表示从O顶点到第n层上所有顶点的子图.s（t）表示顶点t的所有子代的子图.设S为有限集，令Ω=ST，F为Ω中所有有限维柱集生成的σ代数，P为可测空间（Ω，F）上的概率测度.

定义2.1设S1=｛1，2，···，N｝和S2=｛1，2，···，M｝为两个可列集，｛Xσ，σ∈T｝为定义在概率空间｛Ω，F，P｝上取值于S1的随机变量族，｛p（x），x∈S1｝是｛Xσ，σ∈T｝的概率分布.｛Yσ，σ∈T｝是定义在概率空间｛Ω，F，P｝上取值于S2的马氏链，其转移概率分布为｛ln（y1，y2），y1，y2∈S2｝，若｛Xσ，σ∈T｝和｛Yσ，σ∈T｝满足

则｛Yσ，σ∈T｝为马氏环境，｛Xσ，σ∈T｝是马氏环境｛Yσ，σ∈T｝中的马氏链，此时称｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝为马氏双链，转移矩阵为：

3 主要结果及其证明

引理3.1设｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝为如前定义的非齐次树T上的马氏双链，｛fk（x，θ，y，α）｝是定义在S1×S2×S1×S2上的四元实值函数列，λ为一非零常数，令

则｛tn（λ，ω），σ（XTn，YTn），n≥1｝是一非负鞅.

定理3.1设｛（Xσ，Yσ），σ∈T｝为如前定义的非齐次树T上的马氏双链，令

若存在常数α＞0，使得

则

［1］金少华，卢芳，陈秀引，等.非齐次树上马氏信源的一类Shannon-McMillan定理［J］.纯粹数学与应用数学，2014，30（4）：331-340.

［2］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-McMillan theorem for nonhomogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2011，81：1883-1890.

［3］党慧，杨卫国，高荣，等.二叉树上分枝马氏链的强大数定理［J］.纯粹数学与应用数学，2013，29（5）：529-535.

［4］Shi Z Y，Yang W G.Some limit properties for the m-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80（15）：1223-1233.

［5］Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

［6］金少华，王东，王永生，等.关于树上连续状态马氏泛函的一类强偏差定理［J］.数学的实践与认识，2014，44（1）：212-217.

［7］宋明珠.马氏双链函数的一个强大数定律［J］.数学杂志，2012，32（6）：1105-1110.

A strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree

Jin Shaohua，Zhao Xuan，Wang Dong

（College of Science，Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

In recent years，tree indexed stochastic process has become one of the hot topics in probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper，through constructing a non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a strong limit theorem about double Markov chains on a non-homogenous tree is given.

non-homogeneous tree，martingale，double Markov chains，strong limit theorem

O211.4

A

1008-5513（2015）04-0331-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.001

2015-03-17.

河北省高等学校科学技术研究重点项目（ZD2014051）.

金少华（1965-），博士，教授，研究方向：概率论极限定理.

2010 MSC:60B12