让学生成为数学问题的发现者

江苏无锡市蠡园中心小学（214000） 嵇宪长

让学生成为数学问题的发现者

江苏无锡市蠡园中心小学（214000） 嵇宪长

发现一个问题比解决一个问题更重要。在数学课堂中，要努力让学生成为数学问题的发现者，并以此作为推进课堂进程和促进学生学习的重要方式。为了达成这一目标，教师要善于依托新知引入、新知形成、新知深化等学生的“认知节点”，引导学生发现问题，并通过教师引领、同伴互动、自我提问等角度，让学生领悟发现问题的一些方法，不断增强发现问题的本领。

数学问题 发现 认知节点 提问方法

一、对于“发现问题”的理性认识

说起“问题”对于数学学科的重要性，好像没有人比当代美国著名数学家哈尔斯说得更加形象和深刻了，他用了这样一个比喻：“问题是数学的心脏。”这句话直观而简明地道出了“问题”在数学这门学科的创立、形成、完善、发展、分化等过程中的基础地位和独特价值。

那么，围绕“数学问题”本身进行的系列活动中，两种最基本的活动——发现、提出问题与分析、解决问题，到底谁更重要呢？

其实，在更早时候，就已经有人对这个问题做出了自己的应答。

爱因斯坦根据自己终生从事科学研究的体验，语重心长地喊出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要！”接着，他给出了理由：“因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”

我信仰这个世界上最伟大的科学家的结论，更折服于他给出的非常充分的理由。

或许是现实对历史的继承，或许是中国对世界的回应，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“总目标”中明确提出学生能“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。这就是所谓的由“两能”发展为“四能”，并且把“学生自己发现和提出问题”作为“创新的基础”，要求“应该从义务教育阶段开始培养，并贯穿数学教育的始终”。

具体地说，“贯穿数学教育的始终”，就是要把培养“学生自己发现和提出问题”的意识和能力实实在在地落实到每一节课中，分化到每一个教学内容中。为此，就需要在观念上做出如下的真实转向：学生由问题的应答者和解决者成为问题的发现者和提出者，教师由问题的设计者和发起者成为引导学生发现和提出问题的启发者和促进者。

一句话：要让学生成为数学问题的发现者。

这并不容易。正如郑毓信教授在《数学教师的三项基本功》一书中所说的那样：“毋庸置疑，对于课堂提问的高度重视正是中国数学教学传统的一个重要方面。‘大班教学’的现实是促成这一现象的一个重要原因，因为在学生人数众多的情况下，适当的提问显然可以被看成同时实现学生在学习过程中的主体地位与教师在教学过程中的主导作用的一个有效手段，特别是，通过提出有一定挑战性、同时又适合学生的认知水平、具有一定启发意义的问题，我们不仅可以促使学生积极地去进行思考，同时也可发挥重要的引导作用。”

在这段话中，郑毓信教授不仅高屋建瓴地指出了“善于提问”对于数学课堂有效性的重要意义，而且比较真实地描绘了当前数学课堂的普遍生态：教师问，学生答；教师抛出，学生接受。

接下去，他的话更加耐人寻味。

“‘问题引领’更可被看成数学教学中努力实现‘双主体’的关键所在，这也就是指，不仅任课教师应当清楚地知道每一堂课主要解决什么问题，也应努力帮助学生建立相关的认识，学生就能围绕问题自觉地去进行学习。”

在读这段话时，我把重点放在后半句上——努力帮助学生建立相关的认识，学生就能围绕问题自觉地去进行学习。

怎样“帮助学生建立相关的认识”？按照我的理解，那就是要教师创设出适当的“问题情境”，借此调动学生的好奇心、求知欲，让他们的思维在一定的问题空间中自由游走，敏锐地觉察到真实问题的存在（也即发现问题），并能用相对严谨专业的数学用语（文字、图形、符号）表达出来（也即提出问题）。

不妨再进一步勾勒：以学生为主体，让学生面临真实的问题情境，在此基础上生成属于自己的数学问题，并把这些问题作为推进学习进程和促进深度理解的抓手和方式，构建更加开放、更加灵活、有着更多可能性的教学时空。

方向算是有了，问题也就接着来了。这个教学主张，落实到一节课中，从方法论的角度去衡量，最起码有两个基本问题需要思考和实践。一是在教学某一具体内容时，可以选择哪些适宜的“认识节点”引导学生发现问题？二是如何在教学过程中渗透一些发现问题的常规方法，从而让学生“有法可依”，以便切实提高学生发现问题的能力和水平？以下将通过一些具体案例尝试回答。

二、如何依托“认识节点”，引导学生发现问题

学生在学习数学知识的过程中，有一些“认识节点”需要他们积极回应，主动探索，方能实现认知上的跨越式发展。比如：在新知的引入环节，常常需要他们调整观念；在新知的形成环节，常常需要他们认真辨析；在新知的巩固环节，常常需要他们透视洞察。要想较好地达成上述目标，就要求学生能主动观察、主动质疑、主动探索。依托上述“认识节点”，引导学生发现问题，正是促成目标实现的良好手段，让新知识经过学习主体的同化或顺应后，帮助学生建构更高水平、更加稳定、更为丰富的新的认知结构。

1.明确困惑，指引思维方向

学生学习新知第一个关口就是旧观念和新知识之间的障碍和冲突，教学中应使学生非常真切地感受到这个冲突，这样才能为接下来的思考和研究指引方向，积蓄力量。

【案例1】三位数除以一位数

在计算了712÷4，复习除的顺序和算理后，出示例题：

师：请同学们独立读题，并在自备本上列式，尝试竖式计算。在除的过程中，请注意你是否遇到一个新的问题。（生试算）

师：现在开始交流刚才计算时的感受。谁来说说你是按照什么顺序来计算这道除法算式的？

生1：是按照从高位到低位的顺序，依次地一位一位地往下除。（旧知）

师：好。第一步，除百位。（注意：一定要从这里讲起）在除百位时，你遇到什么问题了吗？能比较清晰地表达你所遇到的问题吗？

生2：除百位时，我发现百位上的数字3没有除数4大，不够除。

师：大家同意他的说法吗？你们是不是也遇到和他同样的问题？对。百位上的数字3没有除数4大，在除法中我们把这种情况称为“百位上不够除”。遇到这种情况，我们应该怎么办呢？（板书课题：首位不够除，怎么办？）这就是我们今天主要研究并解决的问题。

生3：只要把它和十位上的数合起来继续除就可以了。

师：不错。请认真观察712÷4和312÷4，你有什么发现？或许会对你处理这个新问题有点启发。

……

奥苏伯尔认为，有意义学习必须具有三个条件：第一，学习材料具有逻辑意义；第二，学生认知结构中具有同化新知识的原有知识基础；第三，将材料的潜在意义转化为学生心理意义的一个重要条件就是学生具有有意义学习的心向。具有有意义学习心向的学生，能主动地将新材料与头脑中原有知识进行相互作用，其结果是获得心理意义。

对于前两个条件来说，教材按照知识发展序列由易到难地编排两、三位数除以一位数，在某种程度上已可保障。接下来，教师的主导作用就应该体现在如何最大限度地在课堂上帮助学生实现“有意义学习”的第三个条件了。

在这个案例中，值得一说的细微之处有这样三点。一是在学生与新知遭遇的“关口”，教师注意引导学生体会“想追求而又未找到适当手段处理方法”的心理困惑，并通过“大家同意他的说法吗？你们是不是也遇到和他同样的问题？”将个体问题扩展成群体问题，以此引导学生发现问题，明确问题所在，指引思维方向，为下面的探究交流活动蓄势助力。二是用“首位不够除，怎么办？”这样的一般疑问句作为课题。在本单元中，我有意识地尽量以诸如“个位有余数，怎么办？”“首位不能整除，怎么办？”“十位上不够除，怎么办？”等疑问句方式作为课题呈现，这是我的一个尝试。个人以为，把学生发现的问题用文字的形式记录下来，并且作为课题使用，这本身就是对学生发现问题的一种肯定，同时还是不着痕迹的启发和诱导。况且，“一般疑问句”比“普通陈述句”更能引起人的关注，引发人的思考。所以，这样的方式，值得一试。三是设计安排“712÷4”和“312÷4”这两个竖式的对比，就是期望那些具有有意义学习心向的学生，能主动地将新材料与头脑中原有知识进行相互作用，从而比较顺利地把材料的潜在意义转化为学生的心理意义。

2.质疑新知，获得深度理解

在新知刚刚揭示时，学生对新知的理解相对而言还是比较肤浅、片面的。这时，往往需要教师带领学生对这些结论本身进行质疑，引导辨析，促进学生的深度理解。

【案例2】分数的认识

师（在学生通过自学知晓分数各部分名称后）：现在请同学们汇报一下刚刚自学的成果。

生1：二分之一的中间的横线是分数线，2是分数的分母，1是分数的分子，像二分之一这样的数叫做分数。

师（根据学生回答板书）：现在黑板上出现了四个名称，你能针对这四个名称提出一些问题帮助大家继续思考吗？

生2：母、子本是指人，为什么在分数中出现了表示人的词语？

师：是啊。一个数为什么要用上表示人的词语呢？这究竟是为什么？这个问题值得思考。

生3：这里的母子是一种比喻关系，比喻这两个数之间的关系就好像一对母子一样。

师：为什么这两个数是一对母子关系呢？能不能结合分数产生的过程举例来讲一讲。

生4：比如二分之一吧。要先把一个蛋糕平均分成两份，这样每人才能分得一份。这一份就是它的二分之一。产生的过程是先有“2”，再有“1”，就好像先有母，再有子一样。

师：对着“分数”这个词语，能不能提个问题呢？

生5：为什么把这样的数叫做分数呢？

师：非常好。她已经知道在一个词语前面，只要再加上“为什么”，就会成为一个很好的问题。

生6：应该是因为这些数都是经过平均分才出现的数，所以就是分数了。分的意思其实就是平均分。

师：四个名称中我们已经讨论了三个。那顺便讨论一下分数线可能代表什么意思呢？

生7：分数线就是把分母和分子隔开的一条线。

师：其实，分数线可以看做分蛋糕时的那把刀，它正在把蛋糕平均地切开。这条线就可以代表平均分的意思。

按照美国著名心理学家加涅的研究，“分数”“分数线”“分母”“分子”这些专业的数学名词的学习是属于“言语信息”学习类型。人们在学习和记忆中发现，“凡是难以记忆的数字、人名、地名，或外语单词，若人为地给它们赋予某些意义，记忆就会变得容易些”。据此，心理学家提出了记忆的精加工策略。

上述的学习过程可以看成是利用了“精加工策略”来帮助学生理解这些名词，它的源头就是学生的提问。让学生从看似没有问题的地方发现问题，这会引发学生的有意注意，他们会主动思考：这里面有什么问题吗？我怎样才能提出问题呢？这样思考的心向和强度都是教师直接提问所无法达到的。更为重要的是，在提出问题和解答问题的过程中，从他人身上，学生或许领会了一些提出问题的方法和技巧，让这些规定性知识变得有了那么一点意义，感悟到数学是讲道理的，是有点人情味的，是有其自身的合理性的。

3.寻根究底，洞悉变化原因

巩固的过程就是提高的过程，但是这种提高不是自然而然的，它需要学生以一种“介入”、“参与”的态度，保持思维的深度加工。而引导学生从不断变化的问题中发现问题、思考问题，就是促使学生“把自己摆进去”。这意味着学生已经成为问题的“参与者”，而不是“旁观者”，意味着学生已经成为问题的“当事人”，而不是“局外人”。

【案例3】认识平均数

师：刚刚我们是通过直观初步理解了“平均数”的意义，知道了求“平均数”有两种基本方法，下面我们脱离条形图，直接面对数，看看能不能选择合适的方法，找出每组数的平均数。（出示第一组：4 5 6）

生1：我愿意用“移多补少”法。从6中拿1给4，4变成5，6也变成5，5还是5，所以这组数的平均数是5。

师：如果老师把这三个数中的6变成9呢？（改动出示第二组：4 5 9）

生2（经过思考和讨论）：我用“先分再合”法。4+5+9= 18，18÷3=6。

生3：我用“移多补少”法。从9中拿1给5，再拿2给4，这样4变成6，5变成6，9也变成6，所以这组数的平均数是6。

师：再变。（出示第三组：4 5 69）

生4：我用“先合再分”法。4+5+69=78，78÷3=26，这组数的平均数是26。

生5：我用“移多补少”法。从69中拿22给4，再拿21给5，这样三个数就都是26了。

师（追问）：你怎么想出从69中分别拿出22和21呢？

生5：我是先算出平均数是26，才知道要拿出22和21的。（全班同学都笑了）

师：这进一步证明了对于这样的三个数，合适方法应该是“先合再分”。但刚才这位同学的厉害之处，就在于他知道了这两种方法之间是有非常密切的联系，我们可以先用一种方法算出来，再用另一种方法验算，这样做题就可以确保正确。现在请大家看看刚刚这三组数以及它们的平均数（电脑呈现4 5 6；4 5 9；4 5 69），你能提出一些问题考考其他同学，帮助他们理解这其中的关系吗？

生6：为什么这三组数的平均数会越来越大？

生7：因为其中有一个数越来越大，由6变成9再变成69。

生8：为什么第二组的平均数只比第一组的大1，而第三组的平均数比第二组的大20？

……

要让学生不仅知其然，还要知其所以然。这一要求不仅体现在学生新知的接受过程中，也应体现在知识的巩固过程中。在学生逐一选择合适的方法求出平均数后，及时杀一个回马枪，让学生整体观照，据此提出一些问题深入思考。千万别小看了学生提出的问题，这标志着学生已经由单一式思考走向发展式思考，由离散性思维走向综合性思维。

三、如何渗透提问方法，增强学生发现本领

正如要在游泳中学习游泳一样，发现问题的能力也必须在引导发现的过程中才能得到逐步提升。虽说问题的存在与否因人而异，能否发现和提出问题也与所处的情境、氛围等主客观要素直接相关，但是作为教师，还应该从一般性和普遍性角度出发，寻找到带有方法论性质的提问角度和技巧，并在教学过程有机地渗透这些策略性知识，以期学生能在发现问题方面取得实实在在的进步和提高。

1.教师引领，感悟发现角度

在“认识分数”一课上，学生在我的带领下得到了：把一块蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一。

为了加深学生对这句话的理解，我要求学生对这句话进行一些质疑式提问，引导和帮助学生领悟与分数相关的各个要素的意义。刚开始学生面面相觑，不知我想表达什么意思。课堂上一片寂静。

看来只有我成竹在胸，那也就不必再等了。就在学生困惑愣神之际，我拿起粉笔把“一块蛋糕”这四个字圈起来，并用粉笔在它们上面敲了两下，不急不慢地问出：“难道一定要把‘一块蛋糕’平均分成2份，每份才是它的二分之一吗？”在问出这句话时，我提高了音量，并且重复了一次。

三年级的学生对于相关数知识的认识当然不会那么机械，他们纷纷表示“不一定是蛋糕”，并且不断举例，从具体物品到数学中的图形直至任何的“一个”。这时，我乘机出示了各种不同的二分之一：一条线段的，一个长方形的，一个正方形的，一个椭圆的，一个彩带的……目的当然是让学生意识到不管什么“一个”，只要把它平均分成2份，每份就是它的二分之一。

“刚刚就在你们束手无策、不知所措时，老师对这句话中的‘一个蛋糕’进行质疑提问，引发了大家这么丰富的思考。现在你们能不能模仿老师的样子，对这句话中的某个词语进行质疑提问，引发大家的热烈讨论呢？”我的这番话可以看做自我表扬，但更是抛砖引玉。

这时班级里举手的学生还比较少，只有七、八个的样子。我选了一个平时挺机灵的小男孩上来了。不出所料，他表现不错，基本是模仿我的样子，一圈，一敲，问出：“难道一定要平均吗？”他圈的当然是“平均”这两个字了。

他的话音未落，有些学生就忍不住了：“一定要平均分，不然就不一样大了。”我当然不会放过这样的机会，及时出示“下面几幅图中，哪幅图中的阴影部分能够用四分之一来表示？为什么？”这道判断题是让学生判断并说明理由。

至此，学生中的大多数都明白了我所说的“针对这句话中的关键词语进行质疑提问”的意思了，绝大多数学生都自信地举起了手。就这样，依照词语的顺序，下一个学生对“2份”进行了质疑，并提出了“难道一定要平均分成两份吗？”就这样，非常自然地引出了分数大家族中的其他成员，并且学生通过想象初步感受了“无限”的观念。瞧！在教师的示范引导下，学生从无疑到有疑，从不会提问到模仿提问。我的“言传身教”的作用得到了比较充分的发挥，以学生的问题来驱动教学的这一想法在这一节课中也得到比较完美的实现。

2.同伴互动，实现融通共进

如果从学生个体出发来区分，学生发现和提出的问题不外乎这样两种：一种是这个问题对于自己来说确实是个问题，基于这样的现状提出问题的目的是敞亮自己；一种是自己已经明白但依然有部分同学不能或不太明白的问题，基于这样的现状提出问题的目的是帮助他人。无论是哪种出发点，只要能提出问题，都值得肯定。因为这样的问题发现和提出能促进群体思维的激荡和碰撞，并有可能通过这种激荡和碰撞引起个体内部认知结构的扩张和完善。

实践中，为了促进学生之间的交流，当一个学生呈现出解题的结果时，我们会经常鼓励其他的学生向解题者发问，让他用语言表达出自己的思考过程，这样既可以考查他是否已经真正理解，同时也让其他学生在听着他描述的过程中也跟着思考了一遍。

比如，面对这样一道题，我找了两个水平不一样的学生在黑板上板演：

其中一位学生是常规解法：15×2=30（元），30+5=35（元）；

另一位学生是独特解法：5×7=35（元）。

我组织了这两位学生和其他学生之间的互动。

师：现在请下面的同学通过一些恰当的提问，让这两位同学讲一讲他们各自的想法。谁愿意来试试。

生1：请1号同学讲一讲你每一步算出的是什么？（1号逐步叙述）

生2：请2号同学讲一讲你算式中的“7”是怎么来的？原来的题目中好像没有“7”这个数据。（2号按照成人票和儿童票之间的关系，已经悄悄地把成人票和儿童票进行了兑换）

在课堂上经常进行类似的同伴互动，目的是要形成同伴互动间的常规套路。比如：

做题者：题目我已经做完了，到底对不对呢？请大家评判。

做题者：针对我这种做法，还有什么要问我的吗？

发问者：你是怎么想的？你的答案是怎么来的？你的每步算式代表什么意思？

做题者：我已经讲完了，大家听懂了吗？谢谢大家！

给学生规范一些日常互动的用语，让学生掌握一些常用的互动问题，会使课堂呈现不一样的风貌，营造平等、和谐、灵动的课堂氛围。学生在这样的氛围中互相追问，就能感到学习是一种享受，思考是一种历险，分享是一份荣耀。

3.自我提问，形成解题策略

著名数学家、数学教育家波利亚为了让更多的人发挥解题的天性，他总结出了所谓的“数学启发法”。按照郑毓信教授的观点，它其实就是“一般性的思维方法（也即解题策略）”，具有普遍性和常识性，希望借此对人类的解题活动起到一定的启发或指导作用。

那么，什么又是“数学启发法”的主要内容呢？其实就是在整个解题过程中不断地对自己提出的一个又一个问题。通过这些问题，解题者能够保证自己始终是在进行有意识的思维，对于自身所从事的解题进度一直保持清醒的自我意识。因为，真正的解题活动并非是一个按照事先制定的程序一成不变地加以实施的机械过程，而是一个需要不断对新发生的情况进行评估并随时做出必要调整的动态过程（郑毓信语）。由此可见，即使是解题活动，也与主体在此过程中是否善于提出问题引导自己的思维方向有很大的关联。

从发现问题的角度，应该让学生学习“数学启发法”的具体内容，但鉴于小学生的年龄特征和认知发展水平，或许以下一些问题可以让学生在解题过程中自觉主动地问问自己。

（1）弄清题意时。这道题讲的是一件什么事情？条件是什么？问题是什么？有什么地方值得自己特别注意？

（2）分析解题时。根据题目的特点，我应该采用什么方法帮助自己思考？哪两个条件之间有直接的联系？这个问题的求出对最终问题的解决有帮助吗？还有哪个条件暂时没有用？

（3）检查回顾时。我的答案大致正确吗？我能验证这个答案吗？是否还有其他的方法？

这些问题在头脑中的不断闪现，将在很大程度上改善部分学生在解题活动中不假思索“一根筋”的做法，力求做到在整个解题过程中都能始终做到“心中有数”，对自己目前的“解题处境”能够做出清醒的自我评估，并能做出相应的调整，从而逐步养成自我反思的良好习惯，培养自身的理性精神和批判能力。

（责编 金 铃）

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1007-9068（2015）05-009