三维正交电流元磁场的空间分布

2015-11-20程和平孟云吉谢国秋

黄山学院学报 2015年3期

程和平，孟云吉，郑立，谢国秋

（黄山学院信息工程学院，安徽黄山245041）

1 引言

“电流元”概念是物理学中基本的物理模型之一，毕奥和萨伐尔两人通过对电流元周围磁感应强度的定量描述，给出了传导电流周围磁场的物理规律，这部分内容是大学物理电磁学的教学重点之一。其他电流产生的磁场分布，比如无限长直导线[1，[2]、圆环电流[3]、螺线管[4]等周围的磁场分布，从理论上讲，都可以利用毕奥-萨伐尔定律计算获得。多方向电流元的磁场分布问题，由于其复杂性，大学物理教学当中几乎很少涉及。对于那些比较简单的、具有不同流向的多维电流元磁场问题，利用毕奥-萨伐尔定律是可以讨论并得出解析结果的。本文拟讨论一种简单的三维正交电流元周围磁场分布问题，并利用Mathematica 软件给出磁感应强度值分布的图形。

2 物理模型

图1 正交电流元和其所处的空间坐标系

如图1 所示，在空间存在3 个电流强度皆为I的电流元，成正交关系，分别沿着这3 个电流元的方向定义3 个直角坐标轴，建立正交坐标系O-xyz。根据毕奥-萨伐尔定律，一个电流元在空间任意点（用P 点表示）产生的磁感应强度为：

上式中，电流元的方向规定为电流的方向，电流元的线度dl→0。一般大学物理教科书中将电流元产生的磁感应强度视为微元，用dB 表示，此处简单起见改用B 表示。对于本文中的三维正交电流元，不妨设其表达式为：

其中dx0→0，dy0→0，dz0→0。令空间任意点P 的坐标为：，那么电流元在空间任意点P 产生的磁感应强度为：

磁感应强度的大小—磁感应强度值为：

3 结果和讨论

为了获得三维电流元的磁场的磁感应强度值的空间分布情况，采用计算软件Mathematica[5]进行图形展现，可获得可视化的结果。为了分析方便，各方向电流元的线度不妨取等值，即dx0=dy0=dz0=ξ→0，真空磁导率μ0=4π×10-7T·m·A-1，适当选取电流强度I和ξ 值，让。这样，(4)式写为：

由(5)式可知，由三维坐标位置及其相应磁感应强度值构成了四维数据结构，一般情况下无法用图形描绘出来，这也是电磁学图形描述的主要困难所在。

图2 磁感应强度值的空间分布（-2≤x≤2，-2≤y≤2）

通过对四维空间切片的方法，将不同平面上的电流元磁感应强度值获得，从而间接得到磁感应强度值分布情况。如图2 所示，分别取z=1，0，-1 的3个平面，x 和y 的取值范围都在-2 和2 之间，能观察到正交电流元的磁感应强度值的分布情况。图2 中的A 图为z=1，0，-1 三个位置的磁感应强度值B 的等高线分布，B、C、D 图分别为与之对应平面的三维强度分布，分布曲面设置为半透明，可以看到其下的等高线。从图2 中看到，在每一个切平面上，磁感应强度值都有最大值（此时x=y=0），在x=y=z=0（也就是坐标零点）处为奇点，该处的磁感应强度值为无穷大，这和毕奥-萨伐尔定律的物理意义是一致的。

图3 在x=y 平面上的磁感应强度分布

图4 在x+y=1 平面上的磁感应强度值分布

图5 在x-y=1 平面上的磁感应强度值分布

从(5)式中可以判断出，磁感应强度值的空间分布具有对称性，在x=y=z（除去坐标原点）直线上，磁感应强度B=0，可以从图2 中看到此分布的一些大致表现。要更加清楚地看到这种零磁感应强度的分布，需要再进一步观察x=y 平面。如图3 所示，x，y的取值范围都在-2 和2 之间，z 和x（和y）相等的直线上确实存在零磁感应强度值。从x+y=1 平面（或与之平行的平面）上看，应有一个磁感应强度值的零点和一个极大值点，如图4 所示的x+y=1 平面上，确实在x=y=z=0.5 处为零磁感应强度值，在x=y=0.5，z=-0.25 处，存在磁感应强度值的最大值2.51。与x+y=1 平面相垂直的平面上看，只能看到磁感应强度值的极大值而看不到磁感应强度值的零点，如图5 所示的x-y=1 平面（或与之平行的平面）上，确实只观察到在x=0.5（y=-0.5），z=0 点上存在最大值3.46。

图6 不同位置的z 轴线上的磁感应强度值

图6 列出了6 根不同位置上平行于z 轴的直线上磁感应强度值随z 坐标变化的情况。依据坐标和距离z 轴不同，共分为2 组，其中{x=y=1、x=y=-1、x=-y=-1} 组距离z 轴为，{x=y=0.5、x=y=-0.5、x=-y=-0.5}组距离z 轴为。两组中，x=y 都存在最小值（零磁感应强度值）和最大值两个极值，x=-y 只具有一个最大值。由于第一组距离z 轴较远，比同类型的第二组中的z 直线的最大值都要小。