刚体运动在微分几何中的应用及求法（下篇）——曲面*

卢卫君，方丽菁，梁丽美

（1.广西民族大学理学院，广西　南宁　530006；

2.广西大学君武小学，广西　南宁　530004）

刚体运动在微分几何中的应用及求法（下篇）——曲面*

卢卫君1，方丽菁1，梁丽美2

（1.广西民族大学理学院，广西南宁530006；

2.广西大学君武小学，广西南宁530004）

此文是上篇的继续，上篇讨论了刚体体运动使得两条给定空间曲线彼此合同的应用，下篇将进一步讨论刚体运动在曲面中的运用.在刻画了刚体运动和仿射标架的关系之后，笔者给出了确定正则曲面度量和弯曲的第一基本形式和第二基本形式在刚体运动下保持不变的证明方法；并通过曲面的自然仿射标架场证明了满足完全不变量系统的两个曲面在刚体运动下可以彼此重合.特别地，笔者提出求两个给定曲面合同的刚体运动表达式的具体步骤，并构造实例加以阐述.

刚体运动；仿射标架；曲面的自然标架；曲面的完全不变量系统；合同

0　引言

上篇[1]着重讨论了刚体运动在微分几何中曲线的应用，通过刚体运动和正交标架变换的关系，阐述了三维欧氏空间的一条光滑曲线用它的参数方程的若干次微商构造适当的代数表达式或它的积分可以得到它的弧长、曲率和挠率，它们刻画了曲线的形状和大小，并且空间中两条位置不同的正则曲线能够在一个刚体运动下彼此重合的充分必要条件是它们的弧长相同，并且曲率和挠率作为弧长的函数也对应相同.特别地，在给定两条曲线之下，如何通过它们的Frenet正交标架及其运动来确定一个使它们合同的刚体运动.

下篇的研究工作转向曲面的情形.表面上，曲面的研究方法与曲线的研究方法是平行的，但实际上处理起来相对复杂得多.这主要来自于正则参数曲面上的自然标架一般不是正交标架，更不是单位正交标架.当然，在曲面上也可以取单位正交标架，如是曲面上在该点的彼此正交的主方向单位向量，但是主方向本身并不能像正则参数曲线的Frenet正交标架那样从曲面的参数方程的偏导数直接显式表示出来.可见，从仿射标架的自然标架出发研究曲面的理论比较方便.其次，刻画曲面的完全不变量系统需要从曲面的度量形式和弯曲形式两个角度入手：与曲线的弧长相对应的是曲面的第一基本形式（一个正定的二次微分形式），通常称为曲面的度量形式，它可以计算曲面上曲线的长度、两个切向量的夹角和曲面上一块区域的面积等；描写曲面的弯曲形状还需要另一个二次微分形式，称为曲面的第二基本形式.这样，空间中两个曲面能够在刚体运动下重合在一起的充分必要条件是它们在经过参数变换后有相同的第一基本形式和第二基本形式.

由于研究曲面更多地依赖刚体运动与仿射标架变换关系，所以我们先阐述仿射坐标之下的坐标变换公式，给出仿射标架变换与刚体运动的关系定理，见第一节.第二节回顾曲面的第一基本形式、第二基本形式和自然标架，利用曲面的仿射标架和刚体运动的关系证明第一基本形式和第二基本形式是曲面的完全不变量系统；第三节给出在刚体运动下满足完全不变量系统的两个给定曲面可以彼此重合的两个定理；最后一节指出两个给定曲面可以彼此重合的刚体运动的求法步骤，并构造实例加以说明.

1　仿射标架和刚体运动的关系

1.1仿射标架和坐标转换公式

1.2仿射变换公式及仿射性质

可见，仿射标架（包括正交标架）变换确定了点的坐标变换.从（3）式或（3）′易看出空间仿射变换

具有如下简单性质：

命题1 空间E3的仿射变换

具有下述性质：

1）仿射变换是一个线性变换，即

σ（λ（χe⇀1＋ye⇀2＋ze⇀3）＋μ（χe⇀1＋ye⇀2＋ze⇀3））＝λσ（χe⇀1＋ye⇀2＋ze⇀3）＋μσ（χe⇀1＋ye⇀2＋ze⇀3）；

2）仿射变换将一条直线到上的映射到另一条直线.

1.3刚体运动在仿射标架下的表达公式和性质

由于刚体上的各点的相对位置是固定的，因此当某一时刻刚体上面不共线的三点位置能够确定时，刚体上其他点的位置就可以通过与这三个点的相对位置来确定.

2　曲面的代数不变量系统和自然标架

这些标架的全体称为参数曲面S的自然标架（场）.

有了参数曲面S的自然标架（14），我们需要研究这个标架随着参数（u，v）的变化规律，为方便起见，将采用张量的记号.为此引进如下记号：

2.1曲面的代数不变量系统和自然标架

由于该节主要研究曲面在刚体运动下的形态变化，所以我们先回顾曲面的一些重要概念，特别是作为仿射标架的自然标架及其运动公式[4，6－7].

从下一节定理2的证明过程中，我们将会看到此运动公式可以完全刻画出曲面刚体的行为.

2.2刚体运动下曲面的几何不变量

此节将通过刚体运动证明曲面的第一基本形式和第二基本形式在刚体运动下保持不变.

3　刚体运动下曲面的合同刻画

4　曲面上刚体运动的求法

这里我们感兴趣的是如何验证给定的两个曲面具有相同的形状，然后求出这个刚体运动的坐标表达式.从定理3，可以归结出具体的操作步骤如下：

1°先验证给定的两张曲面能够建立保长对应，即先分别计算出两张曲面的第一基本形式Ⅰ（1）和Ⅰ（2），然后通过观察和配方拼凑等方法，并兼顾Ⅱ（2）和Ⅱ（1）的各项符号特点找出参数之间的对应关系u2＝f（u1，v1），

3°根据刚体运动下，仿射坐标变换公式（6）有

下面我们构造些实例阐述是否存在这样的刚体运动σ以及求出它的操作流程.

由定理3知，不存在刚体运动σ：E3→E3，使得曲面S1和S2彼此重合.

例2 对于曲面S1（u，v）＝（a（cosu＋cosv），a（sinu＋sinv），b（u＋v））和曲面S2（φ，θ）＝（2acosφcosθ＋1，2asinφsinθ＋2，bφ＋3），分别计算它们的第一基本形式、第二基本形式以及单位法向量，得到

注意到1＋cos（u－v）＝2cos2[（u－v）/2]，1－cos（u－v）＝2sin2[（u－v）/2]，还有Ⅱ1中含有“－du2＋dv2”的特点，可以找到参数之间的对应关系φ＝f（u，v）＝（u＋v）/2，θ＝g（u，v）＝（－u＋v）/2，便使得Ⅰ2＝Ⅰ1，Ⅱ2＝Ⅱ1.由定理3知，存在刚体运动σ：E3→E3，使得曲面S1和S2彼此重合.不妨u0＝v0＝π/2，则φ0＝π，θ0＝0，进一步利用（27）和上面步骤3°，就可以求出相应刚体运动的具体表达式.由于篇幅的限制，在此省略.有兴趣的读者可参照上篇的实例尝试一下，因为后面的每一步已不是很困难.

[1]卢卫君，梁丽美，陈向阳.刚体运动在微分几何的应用（上篇）[J].广西民族大学学报：自然科学版，2014，20（4），58－65.

[2]吕林根，许子道.解析几何－4版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]北京大学数学力学系.高等代数[M].高等教育出版社，1978.

[4]陈维桓，微分几何[M].北京：北京大学出版社，2006.

[5]王幼宁，刘继志.微分几何讲义[M].北京：北京师范大学出版社，2007.

[6]彭家贵，陈卿.微分几何[M].北京：高等教育出版社，2002.

[7]多卡莫（M.do Carmo）.曲线和曲面的微分几何（英文版）[M].北京：机械工业出版社，2004.

[8]黄宣国.空间解析几何与微分几何[M].上海：复旦大学出版社，2004.

[责任编辑 苏 琴] [责任校对 方丽菁]

A Solution to Rigid Motion Applied in Differential Geometry.Ⅱ.Surface

LU Wei－jun1，FANG Li－jing1，LIANG Li－mei2
（1.College of Sciences，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China；2.Primary school of Junwu，Guangχi University，Nanning530004，China）

This paper is a continuation of Part I where solving a rigid motion such that two given space curves coincide each other was discussed.Here，the authors further discuss some applications to surface under a rigid motion.After characterizing the relation between affine frames and rigid motion，the authors show that under a rigid motion，the first and second fundamental forms determining the gauge and curvature of a regular surface can be preserved；and that two given surfaces satisfying same fully invariant algebraic system can be coincided each other via the natural frame of surface.Especially，the authors provide concrete steps to solve a rigid motion such that two given surfaces coincide together and construct some actual examples to illustrate.

Rigid motion；Affine frame；Natural frame of surface；Fully invariant algebraic system of surface；Congruence

O18，O31

A

1673－8462（2015）02－0046－09

2015－01－28.

广西高校科学研究资金重点项目（KY2015ZD038）；广西民族大学重点科学研究项目（2012MDZD033）.

卢卫君（1968－），男，博士，广西民族大学理学院副教授，研究方向：微分几何，几何分析.