《实变函数论》课程的教学实践与探讨

茹静

摘 要：《实变函数论》课程是数学与应用数学专业的一门具有一定难度的专业必修课程。该阐述了《实变函数论》课程高度的抽象性和逻辑性的特点，分析了在教学实践过程中遇到的内容偏难偏繁，不易组织教学，知识的应用少等问题，并结合这些特点和问题陈述了改进教学效果的认识和体会，提出通过合理选择教学内容，有效组织课堂教学，借助多媒体，建立生动有效的教学模式，教学方法要灵活多变，激发学生的学习兴趣等方式来改进教学效果的建议。

关键词：实变函数 教学方法 反例

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2015）07（c）-0158-02

实变函数论是20世纪初叶形成的一个数学分支，是现代分析数学的基础。《实变函数论》课程是数学与应用数学专业的一门专业必修课程，它是数学分析的后续课程，它既是微积分理论的深化和拓广，也是泛函分析、偏微分方程、概率论与随机过程等课程的基础。对于近年发展的分形几何，也起到了引导作用[1]。通过对该课程的学习可以使学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和分析解决问题能力得到很大的提高，但也正是由于它的高度抽象性导致学生在学习这门课程的时候难度很大，所以《实变函数论》一向被认为是数学专业本科阶段最难学的课程之一。下面就通过对该门课程的教学实践，提出几点教学体会与认识。

1 《实变函数论》课程的一般特点

《实变函数论》以集合论和实数理论为基础，其考察对象为定义在可测集上的可测函数类，，其中心内容为勒贝格测度论与勒贝格积分论，该课程具有以下一般特点。

1.1 概念和定理组成整个内容

在该课程中基本上没有什么计算问题，其整个内容就是由概念和定理（及相应的引理和推论）所组成的一个理论体系 ，其中的习题也是某些定理和结论的证明。

1.2 高度的抽象性

该课程中的概念有较强的抽象性和接受难度，对这些概念的掌握仅仅是停留在背下来的程度上是不够的，常常需要有一个多方面的、深入的认识过程，才有可能真正理解其本质含义。

1.3 较强的逻辑性

本课程较强的逻辑性体现在定理的证明上，证明过程较长，逻辑性较强，技巧性较高，难度较大。 这门课程中的习题，基本上也都是对某个结论进行证明的证明题，其中不少有较高的技巧性， 而有的习题就是当年的一篇论文中的部分内容，这就使得这些课程中的习题也具有较高的难度[2]。

2 《实变函数论》课程教学实践中存在的问题

2.1 内容偏难偏繁，不易组织教学

由于《实变函数论》课程的高度抽象性、逻辑性特点，整个教学环节是由 一个接一个的证明组成，学生很难接受，往往一个概念不能理解就根本听不懂证明过程，教学效果差，如果多次重复又会影响教学内容的完成，甚至即使多次重复好多同学也不能真正理解，这样如何组织好教学就有很大难度。

2.2 内容倾向于理论，知识的应用少

整个教学内容过于注重数学本身的理论，都是概念和定理的证明，学生对学习该课程有一定的恐惧与排斥心理而出现学习上的的消极现象，以致于缺乏对所学知识的思考积极性和良好的学习态度，只是通过课堂教学被动地学习，并不能有效地解决相关的问题以及用实变函数的观点渗透到其他课程（ 如数学分析） 中并加以区别联系与应用.

2.3 学生思考问题缺乏积极性，学习目标盲目

在《实变函数论》的课堂教学中，学生对于一个问题的思考往往陷于被动接受和思维惰性之中，往往不会理性地分析问题的条件，更谈不上结合所学知识有效的解决问题。

学生在大学本科阶段经过四年学习后都面临着就业和继续深造的选择，这样就导致学生会急功近利地为尽可能达到目标而学习，过多地注重于与就业岗位或考研学习方向相关的课程学习而忽略了本课程的学习[3]。

3 改进教学的几点研究体会

考虑到该课程教学过程中所出现的问题，就改进教学提出几点建议。

3.1 合理选择教学内容，有效组织课堂教学

对教学内容的选择首先要求教师重视教材的选择。实变函数教材的版本很多，而且不同于其它数学类的专业课，不同的教材在教学内容的多少、深度、广度上都有很大差异，这就要求教师在开课前一定要根据本专业学生的实际情况，选择难度和知识点都很合适的教材，根据教材的内容进行一定删减，选择教学内容，教材讲解要详细，从而方便学生课后自学，促进课堂教学。在组织课堂教学的过程中，注重强化学生的解题意识，比如讲解可数集与不可数集的定理的证明，尽可能做更改，从而引导学生发挥思考积极性参与讨论，从集合对等的角度，给予更为直观易懂的证明。

3.2 借助多媒体，建立生动有效的教学模式

多媒体教学已经越来越多的应用于课堂教学，与单一的板书讲解方式相比更加生动形象。在《实变函数论》的教学实践中合理地使用多媒体教学可以扩大课堂的时空，收到事半功倍的效果。教学过程中采用黑板和多媒体结合，概念、定理以及一些图形可以以多媒体形式展示，定理的推导和证明仍以板书为主，这样利于引导学生思维和演练，又能发挥多媒体的优势，提高教学效率。

3.3 教学方法要灵活多变，激发学生的学习兴趣

《实变函数论》课程的教学必须注意采用多种教学方法，将抽象内容形象化、具体化，从而利于学生接受，激发学生的学习兴趣。

（1）类比法是在实变函数教学中较常用的方法，我们知道实变函数的中心问题是建立一种新的积分理论勒贝格积分理论，它产生的原因就是由于黎曼积分理论的缺陷大都来源于黎曼 积分定义对函数的连续性依赖过多。作为黎曼积分的推广，在整个学习过程中都要不断将黎曼积分与勒贝格积分做比较，从而在两者之间架起了一座桥梁，使学生能顺利地从黎曼积分过渡到勒贝格积分。这样进行教学，不仅可以使学生加深了对勒贝格积分本质的认识，同时也搞清了勒贝格积分与黎曼积分之间的关系与异同，才能使学生很好的理解勒贝格积分。

（2）教师在教学过程中应多举例子，恰当举例可以使学生正确理解概念、定理。在讲解定理概念时，除了认真讲清含义外还应当结合正反两方面的例子，即能使学生理解概念的本质，也能使学生去掉一些错误的认识。教师在教学过程中如果能采用直观法教学，将讲授的内容与习题相互补充，多举例题并加以分析也是十分有益的[4]。

3.4 启发学生思维，培养学生学以致用的意识

在让学生对于整个课程结构内容了然于胸的前提下，在具体的教学中，还应注重训练学生对所学知识的运用能力。当前国内外的教育教学模式都热衷于培养学生学以致用的意识， 即数学应用的意识[5]。应教师做到能够在课堂教学中将有用的数学思想和有效的学习方法引入到学生的思维意识中，促进学生在今后的学习中能够树立良好的提出问题、分析问题、解决问题的数学意识。

4 结语

《实变函数论》作为数学与应用数学专业的一门本科专业必修课，它的教学方法对我们数学专业教师来讲是一门值得认真学习探索的的学问。教师应在明确学生素质的培养目标的前提下，对教学方法有意识的不断探索并在实践中的验证和完善，最终达到提高教学效果的目的。

参考文献

[1] 兰尧尧.实变函数课程教学初探[J].重庆文理学院学报，2010（4）：95-97.

[2] 卢同善.实变函数课的教材编写思路研究[J].高等理科教育，2003（6）：68-71.

[3] 铁勇.大学生学习实变函数课程的困因和教学改革的探讨[J].曲靖师范学院学报2011（3）：71-73.

[4] 徐西安.改进实变函数教学的一些方法[J].山东教育学院学报，2006（4）：103-105.

[5] 许绍元，陈亮.在《实变函数》课程教学中培养学生科研能力的体会[J].淮北煤师院学报，2003（2）：53-56.