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谈递推公式an+1=pan+q求通项的多变性问题

2015-11-09王浩

学周刊 2015年12期
关键词:求通公比通项

数列通项公式是我们分析数列性质的重要依据,也是高考考查的一个重点。高考一般以考察通项公式和性质为主,具体体现为用归纳猜想求通项,用an与sn的关系求通项,由递推公式求通项等。本文重点对通过数列的递推公式an+1=pan+q求数列通项中体现出来的“多变性”问题作一总结。这一问题也是高考数列命题中常见的一类题型。这类题型如果单纯地从某个方面看,其解法灵活多样,不易捉摸。如果我们从这些问题的实质进行仔细研究,就会发现一些高频考点都是从这一类型中变化而来。笔者认为,无论哪种题型,最终需要利用an+1=pan+q这种类型问题的解法来解决。

一、由递推公式an+1=pan+q求通项公式几种的解法(p,q为非零常数且p≠1)

解法一:仿写作差构造数列

由an+1=pan+q——①可得:an=pan-1+q——②。①-②得:an+1-an=p(an-an-1),设bn=an+1-an,从而有bn=pbn-1,即数列{bn}以b1=a2-a1为首项,以p为公比的等比数列,所以bn=b1pn-1=(a2-a1)pn-1,即an+1-an=(a2-a1)pn-1,又an+1=pan+q,将此式代入上式得pan+q-an=(a2-a1)pn-1,故an=。

解法二:由上法得{an+1-an}以an+1-an为首项,以p为公比的等比数列

即an+1-an=(a2-a1)pn-1,于是有:a2-a1=(a2-a1)p0,a3-a2=(a2-a1)p1,a4-a3=(a2-a1)p2,……,an-an-1=(a2-a1)pn-2,将这n-1等式叠加可得:an-a1=(a2-a1)(p0+p1+p2+……+pn-2),故an=。

解法三:利用待定系数构造数列

由an+1=pan+q可得:an+1+=p(an+),设bn=,从而数列{bn}以b1=a1+为首项,以p为公比的等比数列。即bn=b1pn-1=(a1+),所以an+=(a1+)pn-1,故an=(a1+)pn-1-。

解法四:迭代法

由an+1=pan+q可得:an=pan-1+q,an-1=pan-2+q,an-2=pan-3+q,……,a2=pa1+q将这n-1个式子迭代可求解an。

例:已知数列{an},a1=1,an=3an-1+2,(n∈N*,n≥2)求an。

解法1:由已知可得:an+1=3an+2,an=3an-1+2,两式相减得:an+1-an=3(an-an-1),设bn=an+1-an,从而数列{bn}以b1=a2-a1=4为首项,以3为公比的等比数列,所以bn=4·3n-1,即an+1-an=4·3n-1,又an+1=3an+2,将此式代入上式得3an+2-an=4·3n-1,故an=2·3n-1-1。

解法2:由上法得{an+1-an}以a2-a1=4為首项,以3为公比的等比数列。即an+1-an=4·3n-1,于是有:a2-a1=4·30,a3-a2=4·31,a4-a3=4·32,……,an-an-1=4·3n-2,将这n-1等式叠加可得:an-a1=4·(30+31+32+……+3n-2),故an=2·3n-1-1。

解法3:由an=3an-1+2可得:an+1=3(an-1+1),从而数列{an+1}以a1+1=2为首项,以3为公比的等比数列,所以an+1=2·3n-1,故an=2·3n-1-1。

解法4:由an=3an-1+2可得:an-1=3an-2+2,an-2=3an-3+2,an-3=3an-4+2……a2=3a1+2,所以an=3an-1+2=3(3an-2+2)+2=32an-2+3×2+2=32(3an-3+2)+3×2+2=33an-3+32×2+3×2+2=……=3n-1·a1+(3n-2+3n-3……+1)×2=3n-1+2×=2·3n-1-1。

以上四种解法,目的主要是通过解法的多样性,促进学生思维的灵活性。通过对同一问题采取不同解法,让学生能够更清楚地认识到,解决数学问题的关键在于对数学模型的认识需要深刻,解决方法需要灵活多样。

二、递推公式an+1=pan+q的“多变性”极其解法

1.若p=0,或p=1,q=0则数列{an}为常数列。

2.若p=1,q≠0,则数列{an}为等差数列。

3.若q=0,p≠0,则数列{an}为等比数列。(其中包含常数列)。

4.若p,q为非零常数且p≠1,则解法如上所述。

5.若p=1,q=f(x),则其变为形如an+1=an+f(x)型。我们也称这种类型为等差数列推广型,利用累加法解决。

6.若p=f(x),q=0,则其变为形如an+1=anf(x) 型。我们也称这种类型为等比数列推广型,利用叠乘法解决。

7.若p≠1,q=f(x),则其变为形如an+1=pan+An+B(A,B为非零常数)型。可采用以下方法求解通项。

则由an+1=pan+An+B可得:an=pan-1+A(n-1)+B,两式相减得:an+1-an=p(an-an-1)+A,设bn=an+1-an,故有bn=pbn-1+A,然后利用an+1=pan+q类型求解。

8.若p≠1,q=mn+1,则其变为形如an+1=pan+mn+1(m为非零常数。)

则由an+1=pan+mn+1可得:=·+1,设bn=,则有bn+1=·bn+1,然后利用an+1=pan+q类型求解。

9.若形如an+1=kanp(其中an>0,k>0)。可采用等式两边取以k为底数的对数构造新数列求解,若k=1时,可取常用对数或其他底数的对数。由an+1=kanp可得:logkan+1=plogkan+1,设bn=logkan,则有bn+1=p·bn+1,然后利用类型an+1=pan+q求解。

10.若形如an+1=(其中k,p,q为非零常数)型。可采用两边倒数构造新数列求解。即有=·+,设bn=,则有bn+1=·bn+。然后利用an+1=pan+q类型求解。

11.若形如an+2=pan+1+qan(其中p,q为非零常数)型。可直接构造新数列求解。

设an+2=pan+1+qan可化为an+2-xan+1=y(an+1-xan),解得x+y=p

xy=-q,解得x,y。然后可转化为an+1=pan+q类型求解。

总之,分析高考命题的趋势,由数列递推公式求通项公式仍是高考命题的热点之一。不论哪一种递推公式,只要能够熟练掌握其包含的数列模型,理解其“多变性”的本质,就能够通过变形处理,转化为自己熟知的这种类型,很轻松地解决问题。

作者简介:

王浩(1975- ),男,汉族,籍贯甘肃天水,甘肃省张掖市第二中学,职称:中学高级,学历本科,研究方向:数学教学与研究。

(责编 赵建荣)

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