高阶Hermite插值的金字塔算法

常锦才，齐雅静，祝弘扬

(华北理工大学 理学院，河北 唐山 063009)



高阶Hermite插值的金字塔算法

常锦才，齐雅静，祝弘扬

(华北理工大学 理学院，河北 唐山 063009)

Hermite插值；Neville-Aitken算法；基函数

用Neville-Aitken方法构造算法金字塔，推导在x0,x1上带有二阶导数信息的Hermite 插值公式，进一步获得一般的高阶Hermite插值公式，并将该算法应用于数值算例中。算例给出了3个点上的信息，分两段计算、画图，并将两端拼接起来，图形表明在内节点处仍保持一定光滑性。

0引言

Hermite插值是函数逼近理论中的一个重要研究方向，用它来处理以节点函数值及其导数值为插值条件的多项式构造问题。Hermite插值作为显式算法，简单且收敛性、稳定性好，分段处理时具有局部性，即如果要修改某个数据，插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响，而代数多项式插值却会影响到整个插值区间，因此对Hermite插值多项式的研究就显得犹有意义。

虽然对于一般的Hermite插值基函数很难找到一个统一的表达式[1]，但是对于一些特殊情形的插值多项式已有不少好的算法设计。比如，在所有节点上具有一阶导数信息，且要求插值函数与被插函数对应的同阶导数相等的Hermite插值问题研究已经有了良好的算法[2,3]，也有学者研究不是所有的节点上都要求插值函数与被插函数导数值相等的问题[4]。

金字塔算法被国内外学者越来越广泛的应用，比如它被应用于多项式插值、逼近和基变换过程，甚至可以运用在对偶化中[1]。因此本文考虑用Neville-Aitken金字塔算法推导在节点x0,x1上具有二阶导数信息的Hermite插值公式，进一步获得在两点处的高阶Hermite插值公式。该问题表述为：

1多项式插值的Neville-Aitken公式

首先，利用Lagrange插值多项式得到加权形式的插值公式：

(1)

易知，2个组合系数满足：

第2步：在相同节点部分利用Taylor展开构造一些小金字塔，即在γi个fi上铺上γi-1个f在xi的一阶Taylor展开式，一直逐层铺到f在xi的γi-1阶Taylor展开式；

第3步：在不同节点部分利用公式(1)，即对邻接数据进行加权平均来逐层堆砌金字塔其余部分；

2具有二阶导数信息的插值公式

f0f0f0f1f1f1

f0001=l0f000+l1f001f0011=l0f001+l1f011f0111=l0f011+l1f111

f00011=l0f0001+l1f0011f00111=l0f0011+l1f0111f000111=l0f00011+l1f00111

这里，f000111就是要求的插值多项式。比较系数得到

其中整理得到

不难发现当γ0=γ1时，有H0j+H1j≡1(j=0,1,2)。

3两点处的高阶Hermite插值公式

和

利用Neville-Aitken方法构造算法金字塔容易推导出该插值多项式。

为了方便起见，记

因此有一般的两点Hermite插值基函数的表达式为

其中

4数值算例

给定数据：

按照上述Neville-Aitken公式构造算法金字塔，塔尖即为所求的插值多项式，分别为：

H0(x)=x5-2x2+4x+1；

H1(x)=-48x5+367x4-1 084x3+1 538x2-1 047x+278。

用MATLAB画出区间上的函数图像如图1所示：

图1　2条Hermite插值曲线的拼接

不难发现利用金字塔算法使得递推过程变得更加清晰，算法结构有利于看出各层之间的联系，用MATLAB画出图形，在节点x=1处仍保持光滑性。

5结论

金字塔算法是一种基于金字塔式递推的动态编程方法，可以理解、分析和计算最普遍的多项式等问题，它形象地描绘人们对于知识的认识和运用的过程，便于公式的推导和应用，在显示算法的整体结构上有明显的优势。本文从金字塔算法的动态编程路径图中导出关于两点的高阶Hermite插值公式，给出了基函数及组合系数，并整理出高阶插值的一般形式，为计算几何及计算机辅助设计中高阶光滑曲线构造提供了理论参考。

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Pyramid Algorithm of Higher-order Hermite Interpolation

CHANG Jin-cai, QI Ya-jing, ZHU Hong-Yang

(College of Science,North China University of Science and Technology,Tangshan Hebei 063009,China)

Hermite interpolation polynomial;Neville-Aitken algorithm;basic function

Hermite interpolation formula with second order derivative information was deduced by Neville-Aitken pyramid algorithm. Furthermore, the general higher-order Hermite interpolation formula was obtained, and the algorithm was used in a numerical example. The numerical example shows the information on three points, we divided it into two sections and calculate respectively and draw it. The two sections will be pieced together at both ends. The picture shows that the two sections still maintain certain smoothness on the common node.

2095-2716(2015)04-0040-05

O241.5

A