立足本源 授人以渔

洪樱

[摘 要]

通过分析一道高考题的解题障碍，得出教学启示，并以解析几何的教学为例，谈了渗透数形结合思想的三个方法。

[关键词]

教学指向;为数配形;形数互化

高三一轮复习《直线与圆、圆与圆的位置关系》的时候，我挑选了2013年高考江苏卷17题作为例题。

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x-4.设圆C的半径为[1]，圆心在l上。

（I）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程。

（II）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围。

从当堂反馈来看，学生在第一小题上没有障碍。而在解第二小题的过程中，多数同学能由MA=2MO得出阿波罗尼斯圆的方程，但未意识到轨迹为几何图形，只是专注于点M同时在两条曲线上，故而联立方程组[x2+（y+1）2=4（x-a）2+（y-2a+4）2=1]消去x或y，将问题转化为一元二次方程，试图用代数方法求解，然后受困于此，解题走向死胡同。

在我提醒从“形”的角度思考方程组后，学生们恍然大悟“圆[C]与阿波罗尼斯圆”有公共点，然后他们顺利地写出了以下的求解过程：

因为圆心在直线y=2x-4上，所以圆C的方程为[（x-a）2+[y-2（a-2）]2=1].

设点M（x，y），由MA=2MO，知：[x2+（y-3）2=2x2+y2]，化简得：x2+（y+1）2=4. 所以点M的轨迹是以D（0，-1）为圆心，2为半径的圆。

又因为点在M圆C上，所以圆C圆D的关系为相交或相切，则[2-1≤CD≤2+1]，其中[CD=a2+（2a-3）2]。

解之得：[0≤a≤125]。

所以点[C]的横坐标a的取值范围为[0，125]。

确实，2013年的考生走出考场后有较多人反映第17题的第二小问比较困难。事实上，此题相较于此前三年高考考的椭圆问题大大降低了计算难度，侧重考察函数与方程思想、数形结合思想。为什么多数学生解不出第二小问呢？主要原因是学生没有深入理解数学的基本思想，不能将其灵活运用于解题实践。这就启示教师：中学教学不需过分追逐高考风向，而应回归本源，从提高能力素养着手，让学生真正掌握重要的思想方法。

接下来以解析几何为例，谈谈如何在平时教学中渗透数形结合思想。

一、新课教学指向研究方法和研究思路

教材中的每个数学分支，甚至每个课程单元或者主题模块，都有相应的研究方法和研究思路。《数学必修2》第二章平面解析几何初步的引言在列举了现实生活中的曲线后，介绍了曲线的方程、方程的曲线的概念，并抛出问题：如何建立直线和圆的方程？如何通过方程来研究他们的性质？这实际上已经给出了解析几何研究问题的一般方法：首先引入坐标把几何问题转化为代数问题，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系。本质上就是“化形为数、为数配形”。所以教师在教授新课时要按照“形-数-数-形”的逻辑顺序展开教学。

比如在“椭圆的性质”这一小节中，教材安排先研究椭圆的标准方程再得出椭圆的范围、对称性、顶点等性质，然后设置例题1研究1个特殊椭圆的几何性质再画出这个椭圆。然而，北京市特级教师张鹤先生在讲座《有意义的教学是观念性的教学》中提到：有些教师在“椭圆的性质”课例中，直接画出图形然后让学生观察椭圆的性质。如此处理，表面上学生也很容易接受椭圆的各种性质，但是这两种不同的教学方法在学生研究问题的能力培养上取得的效果是截然不同的。前者教会学生的是研究问题的方法和思路，一旦领会就终身难忘;后者只教会了学生具体的知识，没有方法的引领学生解题只能是“想不到、解不出”。

二、公式推导挖掘“形”的内涵

数形结合的思想还包含构造“形”来体会问题的本质，进而解决“数”的问题。但是本章中的解析法侧重于将“形”的问题转化为“数”的问题研究，所以教师在“为数配形”方面还需多些关注与重视。

比如椭圆（双曲线）的标准方程的推导过程就是一个“为数配形”的好素材。

《数学选修2-1》在“椭圆的标准方程”这节的习题中安排了第8题：设动点P到点F（1，0）的距离是到直线x=9的距离的[13]，试判断点P的轨迹是什么图形。在“双曲线的标准方程”这节的习题中安排了第5题：在DABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB，AC的斜率乘积为[94]，求顶点A轨迹。这两道习题的安排能启发师生对椭圆（双曲线）的标准方程的推导过程作进一步的思考与挖掘。

椭圆的标准方程的推导过程中有中间式：[a2-cx=a（x-c）2+y2]，受习题8的解答的启示，可将其变形为[ca（a2c-x）=（x-c）2+y2]，即[（x-c）2+y2a2c-x=ca]，然后“为数配形”。式子表示动点（x，y）到定点F（c，0）的距离与它到一定直线l：x=[a2c]的距离之比是定值[ca]。显然，满足上述条件的动点轨迹是椭圆。这也为本章的后继内容“圆锥曲线的统一定义”做好了铺垫。

双曲线的标准方程的推导过程中有中间式：[（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）]，受习题5的解答的启示，可将其变形为[a2y2=（c2-a2）（x2-a2）]，

即[y2x2-a2=c2-a2a2]，即[yx+a?yx-a=c2-a2a2]，然后“为数配形”。式子表示动点动点（x，y）分别与定点（a，0）、（-a，0）连线斜率的乘积等于定值[c2-a2a2]。显然，满足上述条件的动点轨迹是双曲线。这又找到了双曲线（椭圆）的一种描述方式。

由此可见，教材中的推导方式不仅能教会学生一种算理，也能培养学生“为数配形”的能力。教师要善于思考、善于挖掘。

三、习题教学侧重形数“互”化

“形”与“数”是对立统一的，在运动变化中相互联系、相互转化。所以，教师在渗透数形结合思想时，要让学生学会多角度地考虑问题。这种转化能力可以通过习题组强化训练。教师要精心选题，编制题组，“对症下药”。

2013年的这道高考题平淡之中见神奇，大巧若拙，匠心独运，符合高考考查功能的要求：重方法，轻套路;重基础，轻技巧;重思考，轻计算。它显然是一道有价值的例题。如何把它的功能完全发挥出来？教师要立足思想方法的根本，按照从模仿到应用的顺序，设计题组，有针对性地训练。

在复习课上，我在这道高考题后又安排了2道变式：

变式1：已知点A（-2，0），圆C：[（x+4）2+y2=16]，P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使[PAPB=12]？若存在，求出点B坐标;若不存在，请说明理由。

变式2：已知过点P（m，2）（m?R）总存在直线l与圆[x2+y2=1]依次交于A、B两点，使得对于平面中的任意一点Q满足[QP+QB=2QA]，则m的取值范围是_____.

变式1是把原题的条件结论互换，并把“圆上存在一点”改为“圆上任意一点”。学生解出原题后，如果能总结出两个要点：一、平面内到两个定点的距离之比为正常数[λ（λ≠1）]的点的轨迹是阿波罗尼斯圆，二、方程组有解转化为两圆有公共点，那么变式1不难解决。假设存在点B（m，n）使[PAPB=12]，那么P（x，y）在阿波罗尼斯圆上。既然P是圆C上任意一点，那么阿波罗尼斯圆与圆C重合，两方程一模一样，m，n就能解出来了。

变式2的条件与原题差异较大，但若破解了向量条件就柳暗花明了。从“形”的角度理解条件[QP+QB=2QA]，点A 是PB的中点。再从“数”的角度，设A坐标[（x0，y0）]，利用中点关系得出B坐标[（2x0-m，2y0-2）]。而点A、B都在圆[x2+y2=1]上，得出方程组[x20+y20=1（2x0-m）2+（2y0-2）2=1]。回到“形”的角度，两圆相交，圆心距大于半径差小于半径和，继而得出m的取值范围。

从当堂反馈来看，学生通过对照变式与原题的异同能思考出解题思路，说明形数“互”化的能力得到锻炼与提高。

总之，教师只有认真研读教材，通透理解数学知识，才能用科学的研究思路与研究方法对教材“二次开发”、对习题举一反三，加深学生对数学思想方法的理解，真正提高学生的数学思维能力。

[参 考 文 献]

[1]渠东剑.2013年高考数学江苏卷试赏析[J].中学数学教学参考：上旬，2013（8）：32-35.

[2]任念兵.指向学科研究方法和研究思路的试题命制[J].中学数学教学参考：上旬，2014（12）：51-54.

[3]赵思林.研究高考数学试题的几种视角[J].中学数学教学参考：上旬，2009（4）：57-58，60.

（责任编辑：张华伟）