微积分一种重要类型极限的计算方法*

张付臣，孙祥凯

(重庆工商大学数学与统计学院，重庆400067)

学好微积分这门课程是学好其他课程的前提，微积分在经济、管理、金融中有着重要的应用［1－4］.此处给出了一种类型函数极限运算的公式及其在微积分极限运算中的具体应用，应用此极限公式可以求某些极限运算中的参数的值，给出了一元函数在某一点连续性的充分条件和求一个曲线的渐近线等问题，同时给出了一个命题的证明方法.

1 主要内容

注释1 在上述定理1中，可以把条件“x→x0”修改为“x→∞”.

应用定理1可以求某些极限运算中的参数的值，给出一元函数在某一点连续性的充分条件和求一个曲线的渐近线.

例3 若函数y=f(x)在点x0处的左右导数都存在(但不一定相等)，即有f'－(x0)=c1，f'+(x0)=c2(可以允许c1≠c2)，则y=f(x)在点x0连续.

命题1［4］若y=f(x)在(a，b)上严格递增(减)，且在点a右连续，则y=f(x)在［a，b)上亦为严格递增(减)，对右端点b可以类似讨论.

这个命题在课本中没有给出证明，下面给出一种简单的证明.

证明 由已知，要证明y=f(x)在［a，b)上亦为严格递增，只要证明对任意的z∈(a，b)，有f(z)＞f(a)即可.任取 z∈(a，b)，由实数的稠密性知，总可以取到 x，y∈(a，b)，满足 a＜x＜y＜z，由函数 y=f(x)在(a，b)上严格单调递增知 f(x)＜f(y)＜f(z)，令 x→a+，y=f(x)在 a右连续知，f(a)=)≤f(y)＜f(z)⇒f(a)＜f(z)，

这就证明了对任意的z∈(a，b)，有f(z)＞f(a).从而f(x)在［a，b)上亦为严格单调递增.

注释2 从函数的图形上看命题1显然是成立的，因为若y=f(x)在(a，b)上严格递增，且在点a右连续，则保证了函数的图形在点a没有断开，从而保证了f(a)为函数在［a，b)上的最小值，即f(x)在［a，b)上亦为严格单调递增.

命题2 函数y=f(x)在点x0可导且f'(x0)＞0，则必存在δ＞0使函数y=f(x)在U(x0，δ)内严格单调递增.

命题2是个假命题，举出下面的一个反例说明命题2是不正确的.

注释3 1)此题表明，即使函数y=f(x)在定义域内处处可导，但是由一点x0处f'(x0)＞0不能保证存在x0的某邻域使该函数y=f(x)在该点邻域内严格单调递增.

2)如果知道f'(x0)＞0，且导函数f'(x)在点x0处连续，即)=f'(x0)＞0.则由连续函数的局部保号性知，一定存在 δ＞0，使在 U(x0，δ)内 f'(x)＞0，从而保证 y=f(x)在 U(x0，δ)内严格单调递增.而上述例题4中f(x)的导函数f'(x)在x=0是不连续的，这是因为极限不存在，虽然

［1］丁宣浩，唐艳，李霄民，等.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，2013

［2］丁宣浩，杨宜平.区间上连续函数的性质与构造证明法［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2011，28(4):410-416

［3］袁红，张付臣，李小武.关于Hopf分岔中向量函数泰勒公式中算子系数表示的评注［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2012，29(10):6-10

［4］华东师范大学数学系.数学分析上册［M］.3版.北京:高等教育出版社，2002