一个二项式等式的推广和证明*

刘涛涛，韩聪聪

(重庆师范大学 数学学院，重庆401331)

1 预备知识

部分分解定理是组合数学的一个重要组成部分，在文献［1，2］中可以看到一些关于部分分解定理与部分分解法的知识，下面根据需要将部分分解定理写成如下的形式:

引理 1 z是任意的复数，n，r∈N0=N∪{0}，β，γ＞0 则

2 著名二项式等式的新证明与推广

部分分解定理在组合数学中有着很重要的应用，这里将利用部分分解定理采用部分分解的方法对二项等式进行证明.与此同时，在所证明的二项式等式中取特殊值，可以得到一些著名的二项式等式.即:推广了著名二项式等式;采用了新的方法——部分分解法证明了的二项式等式.

定理 1 若 n，r∈N0=N∪{0}，β，γ＞0，那么

Jonathon Peterson在文献［3］中已经给出了用求概率的方法，对二项式等式(5)给出了一个有趣的概率证明.

推论1［3］若所有的 θ＞0，并且所有的n∈N，那么

证明 在式(4)中取r=d，β=1，γ=M，推论4得证.

注 可以看得出来，在利用部分分解方法证明定理1和定理2的同时，对著名的二项式等式做了一定的推广.当然，也可以类似证明定理1和定理2的过程，在证明过程中取特殊值，也即是用新方法——部分分解法，来证明著名二项式.

［1］PRODINGER H.Identities Involving Harmonic Numbers that Are of Interest for Physicists［J］.Util Math，2010(83):291-299

［2］CHU W.Partial-fraction Decompositions and Harmonic Number Identities［J］.J Combin Math Combin Comput，2007(60):139-153

［3］JONATHON P.A Probabilistic Proof of a Binomial Identity［J］.The American Mathematical Monthly，2013(120):558-562

［4］KIRSCHENHOFER P.A Note on Alternating Sums［J］.Electron J Combin，1996(3):78-80