一种改进的基于响应耦合子结构法的刀尖点频响函数预测方法

朱坚民　王　健　张统超　李孝茹

上海理工大学，上海，200093

一种改进的基于响应耦合子结构法的刀尖点频响函数预测方法

朱坚民王健张统超李孝茹

上海理工大学，上海，200093

针对现有的基于响应耦合子结构法(RCSA)的刀尖点频响函数预测方法需要辨识主轴-刀柄、刀柄-刀具结合面参数以及需要自制刀柄模型等引起的预测误差和预测过程复杂等问题，提出一种改进的基于RCSA的铣刀刀尖点频响函数预测方法。该方法首先改进已有的子结构划分方法，将机床-主轴-刀柄-刀具系统划分为机床-主轴-刀柄-部分刀杆、剩余刀杆和刀齿三个子结构；然后改进主轴-刀柄处转动频响函数的计算方法，通过铣刀的模态锤击实验采用反向RCSA和有限差分法计算机床-主轴-刀柄-部分刀杆结构的转动频响函数，并基于Euler梁模型计算出剩余刀杆、刀齿子结构的频响函数；最后将三个子结构的频响函数耦合确定刀尖点的预测频响函数。以一立式加工中心为研究对象，应用所提出的方法对铣刀刀尖点的频响函数进行了预测，并与其实测频响函数进行对比。对比结果表明：刀尖点的预测频响函数与实测频响函数符合程度较高，其预测、实测前三阶固有频率之间的误差在6.9%以内，所提出的方法可行有效、简单方便，且可直接基于铣刀的模态实验计算主轴-刀柄的频响函数，避免了相关结合面参数的辨识和刀柄模型的制作。

铣刀；刀尖点频响函数；预测；响应耦合子结构法

0　引言

机床的切削颤振会降低被加工工件的表面质量并影响机床的使用寿命。目前避免切削颤振最有效的方法是通过加工系统的稳定性叶瓣图选取稳定的切削加工参数[1]。稳定性叶瓣图由加工系统中刀尖点的频响函数计算得到[1-2]，刀尖点频响函数可通过实验模态测试确定，但在实际加工中经常更换刀具导致的重复模态测试不仅耗时，而且会引入人为误差。针对这个问题，Schmitz等[3-4]提出了一种基于RCSA的刀尖点频响函数预测方法，该方法将整个机床划分为主轴-刀柄、刀具两个子结构，二者频响函数分别通过模态锤击实验确定和梁模型理论计算得到，采用最小二乘法识别出刀柄-刀具结合面的平移、旋转刚度和阻尼系数后，将两个子结构进行耦合预测出刀尖点的频响函数。Schmitz等[5]对上述方法进行了改进，提出了一种三子结构响应耦合分析法，将机床系统划分为主轴-刀柄(包括刀柄的圆锥部分和凸缘部分)、剩余刀柄、刀具三部分，通过对刀柄模型进行模态锤击实验确定其频响函数，最终通过RCSA法预测出刀尖点频响函数。近年来，很多学者在此基础上对该方法进行了改进，并研究了主轴结构中轴承的刚度、阻尼参数等对刀尖点频响函数预测结果的影响[6-12]。闫蓉等[13]以均匀分布的弹簧-阻尼单元模拟刀具-刀柄结合部之间的柔性连接，采用实验和仿真相结合的方法辨识刀具-刀柄结合部的刚度和阻尼系数。Mohammad等[14]使用两个线性刚度-阻尼单元计算刀柄和刀具结合面的参数，避免了主轴-刀柄结构的旋转频响函数的计算，并使用遗传算法对线性刚度和阻尼参数进行辨识。王二化等[15]利用传递矩阵法与RCSA耦合算法预测刀尖点频响函数，采用粒子群算法辨识主轴-刀柄、刀柄-刀具结合面的参数。Park等[16]通过反向耦合的方法推导出主轴-刀柄结构旋转频响函数的表达式，并结合实验通过非线性方程组计算出主轴的旋转频响函数，然后由RCSA方法预测出刀尖点频响函数。在此基础上，Mancisidor等[17]使用固定边界条件的方法来计算两端自由的刀具子结构端点响应，进而通过RCSA方法预测刀尖点频响函数。

上述研究中，刀尖点频响函数预测方法或者需要辨识主轴-刀柄、刀柄-刀具结合面的参数，或者需要自制刀柄模型来求取主轴-刀柄处的转动频响函数。而结合面参数的辨识计算量大、容易陷入局部最小值；自制刀柄模型费时、费力。针对这些问题，本文提出一种改进的基于RCSA的刀尖点频响函数预测方法，该方法改进机床-主轴-刀柄-刀具系统子结构的划分，将机床系统划分为主轴-刀柄-部分刀杆、剩余刀杆和刀齿三部分，改进主轴-刀柄处转动频响函数的计算方法，直接由铣刀的锤击模态实验求出，通过理论计算出刀杆和刀齿部分的频响函数，最后将三个子结构进行刚性耦合确定刀尖点的预测频响函数。

1　机床系统子结构划分和响应耦合分析

1.1机床系统子结构划分

机床-主轴-刀柄-刀具系统(以下简称机床系统)主要包括机床-主轴、刀柄、刀具等几个部分，刀尖点的频响函数反映了机床加工系统在刀尖点处的动态特性，它是找出机床稳定切削区域、避免切削颤振的基础。为了快速、方便地预测出刀尖点频响函数，本文对现有机床系统子结构划分方法进行改进，将其划分为主轴-刀柄-部分刀杆、剩余刀杆和刀齿三个子结构。图1以立式加工中心为例，将其划分为子结构Ⅰ、子结构Ⅱ和子结构Ⅲ，各子结构划分及坐标点的定义如图1所示。

图1　机床系统子结构划分

图1中，子结构Ⅰ为铣刀的刀齿部分，其两端坐标分别记为1、2a。由于刀齿包含螺旋槽等复杂结构，为便于频响函数的理论计算，可采用等质量法将其等效为一个圆柱梁，等效直径de由下式确定：

(1)

式中，M为铣刀的质量；ρ为刀具材料的密度；ds和ls分别为刀杆的直径和长度；lf为刀齿长度。

子结构Ⅱ为去除插入刀柄部分后剩余的刀杆，为一个等直径圆柱梁，其两端坐标分别记为2b、3a，它和等效后的刀齿可使用Euler梁或者Timoshenko梁模型计算其频响函数。子结构Ⅲ包括机床-主轴、刀柄以及插入刀柄中的部分刀杆，其端点坐标记为3b。由于坐标点3b非常靠近刀柄端面，相对于整个机床-主轴-刀柄结构，插入刀柄中的刀杆部分对其动态特性的影响较小，在更换不同刀具时，可忽略刀具直径的变化(较小范围内)以及刀具材料的变化对子结构Ⅲ动态特性的影响，即认为子结构Ⅲ的动态特性保持不变。另外，由于子结构Ⅲ中3b点处的动态特性已包含了主轴-刀柄以及刀柄-刀杆两处结合面的动态特性，因此，本文提出的子结构划分方法无需单独考虑这些结合面的动态特性，避免了这两处结合面参数的辨识。

1.2机床系统的子结构响应耦合分析

子结构响应耦合分析中，一般先通过实验或计算得到各子结构的频响函数，然后根据各子结构之间的兼容条件和平衡条件将它们耦合，最后通过计算确定整个机床系统中刀尖点处的频响函数。图1中划分的子结构Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相邻之间均为刚性耦合，考虑平动和转动两个自由度，施加在各子结构坐标点i(i=1,2a,2b,3a,3b)处的载荷表示为qi=(fi,mi)T，其中，fi为力向量，mi为力矩向量。各子结构坐标点i的位移响应记为ui=(xi,θi)T，其中，xi为平动位移响应，θi为转动位移响应。

图1中，对于子结构Ⅰ，其两端1、2a处的频响函数矩阵可记为Rij(i,j=1,2a)，ui=Rijqj，Rij可统一写成如下形式：

(2)

其中，hij、lij、nij、pij分别为在子结构Ⅰ的点j处施加单位力引起的点i处平动位移响应、点j处施加单位力矩引起的点i处平动位移响应、点j处施加单位力引起的点i处转角响应以及点j处施加单位力矩引起的点i处转角响应。i=j时Rij为原点频响函数，i≠j时Rij为跨点频响函数。对子结构Ⅱ，同样可得到其频响函数矩阵Rmn(m,n=2b,3a)。子结构Ⅰ与Ⅱ刚性耦合组成装配体Ⅰ-Ⅱ，如图2所示。

图2　子结构Ⅰ、Ⅱ的刚性耦合

装配体Ⅰ-Ⅱ两端的原点频响函数记为RS11、RS3a3a，跨点频响函数记为RS13a、RS3a1。为了求取RS11和RS3a3a，在装配体Ⅰ-Ⅱ的点1处施加载荷Q1，如图2所示，各子结构端点处受到的力分别为q1、q2a、q2b，则各端点处的位移响应可写成如下形式：

(3)

根据力平衡条件

q2a+q2b=0，q1=Q1

(4)

以及相容条件

u2a=u2b

(5)

可得

R2a1q1+R2a2aq2a-R2b2bq2b=0

(6)

q2b=(R2b2b+R2a2a)-1R2a1Q1

(7)

则RS11可表示为

(8)

即

RS11=R11-R12a(R2b2b+R2a2a)-1R2a1

(9)

同理可求得RS3a1为

(10)

即

RS3a1=R3a2b(R2b2b+R2a2a)-1R2a1

(11)

同理，假设在装配体Ⅰ-Ⅱ的点3a处施加Q3a的载荷，使用与上述相同的分析方法可求出RS3a3a、RS13a:

RS3a3a=R3a3a-R3a2b(R2a2a+R2b2b)-1R2b3a

(12)

RS13a=R12a(R2a2a+R2b2b)-1R2b3a

(13)

子结构Ⅰ和Ⅱ耦合成装配体Ⅰ-Ⅱ后，再与子结构Ⅲ在3a、3b点处进行刚性耦合，组成图3所示的整个机床系统。

图3　装配体Ⅰ-Ⅱ与子结构Ⅲ的耦合

根据上述子结构Ⅰ、Ⅱ的刚性耦合分析原理，同理可得机床系统在刀尖点1处的原点频响函数Gt11为

Gt11=RS11-RS13a(RS3a3a+R3b3b)-1RS3a1

(14)

式(14)中，仅有R3b3b未知，其余均可由梁模型和耦合原理计算得到。R3b3b为子结构Ⅲ在点3b处的频响函数，它包含了机床-主轴本身的动态特性以及主轴与刀柄、刀柄与刀具两处结合面的动态特性。由上述分析，令

(15)

式(14)可表示为

(16)

在实际的机床切削稳定性研究中，只需考虑刀尖点的原点位移频响函数ht11，根据频响函数矩阵的对称性有l33=n33，由式(16)得

h3a1(-n33n13a+p33h13a)]

(17)

式(17)中，只有h33、n33、p33未知，其为R3b3b频响函数矩阵的元素，求出主轴-刀柄频响函数矩阵R3b3b后即可通过式(17)预测出不同悬伸长度下刀具刀尖点的位移频响函数ht11。

2　子结构Ⅰ、Ⅱ频响函数计算

由上述分析，子结构Ⅰ和子结构Ⅱ均为两端自由的匀质等直径圆柱梁，其两自由端点的原点和跨点频响函数矩阵可以通过Euler或者Timoshenko梁模型计算[18-20]。Timoshenko梁考虑了梁的剪切效应，在高频处计算结果比Euler模型更加准确，但其计算过程复杂。在实际切削加工关心的频率范围内，二者计算结果基本没有区别。为计算简便，本文使用Euler梁模型对子结构Ⅰ和Ⅱ的频响函数进行计算。对于两端自由的均质圆柱梁，设其端点分别为j、k，其平动、转动频响函数可通过下式计算：

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

I=πd4/64

其中，E为梁材料的弹性模量，I为梁的二阶惯性矩，i为虚部符号，d为梁的直径，η为梁材料的阻尼因子，λ为频率参数，由下式计算：

(26)

m=πd2ρl/4

其中，m为梁的质量，ρ为梁的材料密度，l为梁的长度。式(18)～式(25)中的F1、F3、F5、F6、F7、F8、F10均为λ的函数，它们分别由下式计算：

F1=sinλl+sinhλl

(27)

F3=cosλlcoshλl-1

(28)

F5=cosλlsinhλl-sinλlcoshλl

(29)

F6=cosλlsinhλl+sinλlcoshλl

(30)

F7=sinλl+sinhλl

(31)

F8=sinλl-sinhλl

(32)

F10=cosλl-coshλl

(33)

计算出F1、F3、F5、F6、F7、F8、F10后就可根据式(18)～式(25)计算出子结构Ⅰ、Ⅱ的各自由端点处的频响函数矩阵。

3　子结构Ⅲ频响函数的计算

由上文分析，子结构Ⅲ在点3b处的频响函数矩阵R3b3b未知，其平动位移频响函数h3b3b可通过模态锤击实验得到，而其转动频响函数n3b3b、p3b3b难以直接测量，可通过间接测量的方法得到。本文对现有子结构响应耦合分析中主轴-刀柄结构转动频响函数的求取方法进行了改进，首先根据整体机床系统点3处的频响函数Gt33由反向RCSA推导出R3b3b的表达式，然后通过铣刀的模态实验和有限差分法求出R3b3b中转动频响函数，避免了结合面参数的辨识和实验刀柄模型的制作。

首先求取Gt33，使用与1.2节相似的方法推导出Gt33的表达式:

Gt33=RS3a3a-RS3a3a(RS3a3a+R3b3b)-1RS3a3a

(34)

由式(34)可反向求得R3b3b表达式:

R3b3b=RS3a3a(RS3a3a-Gt33)-1RS3a3a-RS3a3a

(35)

其中，RS3a3a为装配体Ⅰ-Ⅱ在点3a处的频响函数，可通过式(12)计算得到。Gt33可表示为如下形式：

(36)

其中，Ht33可通过模态锤击实验获得。转动频响函数Nt33可使用有限差分法计算[21]。有限差分法求取转动频响函数方法中，最简单的为一阶有限差分，该方法只需要考虑两个坐标点处的直接位移频响函数，计算简单，使用的数据量也最少。首先将一把立铣刀安装在机床上，确定子结构划分点3的坐标，然后在距离点3右侧s处位置选择一个坐标点，记为点4，如图3所示。对铣刀刀杆上的点3、4分别进行模态锤击实验，得到点3的原点平动位移频响函数Ht33和点3到点4的跨点平动位移频响函数Ht34，然后根据下式计算出转动频响函数Nt33：

(37)

利用已得到的频响函数Ht33和Nt33，通过下式的合成得出Pt33：

(38)

由式(37)可知，Nt33由测量得到的Ht33和Ht34之间的差值计算得到，因此，在实验中要尽可能选择较大的距离s来保证测量到的Ht33和Ht34之间的幅值存在明显的差异，提高计算的准确性。实际模态实验中，点3、点4均在铣刀的刀杆上，距离s可根据铣刀刀杆的实际长度进行选取。同时在模态实验时对点3、点4进行多次测量取平均值作为Ht33和Ht34的结果，以降低测量中随机噪声对测量结果的影响。

至此，Gt33频响函数中的4个元素均已求出，通过式(35)就可以确定频响函数矩阵R3b3b，最终通过式(15)、式(17)即可预测出任意悬伸长度下刀具的刀尖点位移频响函数ht11，具体步骤如图4所示。

图4　刀尖点频响函数预测流程图

4　实验研究

为验证本文方法的有效性，在VMC850E加工中心上进行实验研究，本文研究中使用的刀柄型号为BT-40-ER32弹簧夹头刀柄。实验中，每把刀具都使用较大力度进行装夹，可近似认为实验刀柄与刀具之间的装夹力恒定。

4.1求取子结构Ⅲ点3b处频响函数

首先通过一把实验刀具来求取子结构Ⅲ点3b处频响函数R3b3b，将此刀具记为T0，其几何参数如图5所示。T0的材料为高速钢，其弹性模量为210 GPa，密度为7800 kg/m3，材料阻尼为0.0015，泊松比为0.3。子结构划分中的各相关坐标点如图5所示。

图5　实验刀具T0几何参数

由式(1)计算出T0刀齿部分的等效直径de=8.6 mm，根据式(18)～式(25)、式(9)～式(13)计算出装配体Ⅰ-Ⅱ两自由端的频响函数矩阵RS11、RS3a3a、RS13a和RS3a1。其中RS11频响函数矩阵中的位移/力频响函数的实部Re、虚部Im如图6所示。

(a)实部

(b)虚部图6　T0装配体Ⅰ-ⅡRS11中位移/力频响函数

在刀具T0的点3、4处分别进行模态锤击实验，使用Kistler9724A激振力锤对测量点施加瞬时激振力，并使用B&K4525B三向加速度传感器记录此时振动加速度响应。激振力信号和加速度信号使用NI9234数据采集卡进行同步采集。模态锤击实验装置照片如图7所示。

图7　模态锤击实验装置照片

进行多次测量，使用ModalView模态分析软件得到频响函数Ht33和Ht34，然后通过式(18)、式(19)计算出坐标点3处的Nt33和Pt33，三者幅值H如图8所示。

图8　T0刀具点3处的频响函数Ht33、Nt33、Pt33

(a)实部

(b)虚部图9　子结构Ⅲ点3b处位移/力频响函数H3b3b

最终由式(35)计算出频响函数矩阵R3b3b，其中位移/力频响函数H3b3b的实部、虚部如图9所示。4.2刀尖点频响函数预测与分析

根据本文预测方法对三把不同的刀具进行刀尖点频响函数的预测，预测实验刀具分别记为T1、T2和T3，其参数如表1所示。

表1　预测实验刀具的相关参数

在实际的刀具更换时，装夹的刀具长度可能会有所不同，但是其长度变化在较小的范围内，且刀具装夹长度的变化对整个子结构Ⅲ(包括整个机床-主轴结构和刀柄结构)动态特性的影响很小，故可忽略刀具装夹长度的变化对预测结果的影响。本文实验验证中各刀具装夹长度与实验刀具T0保持一致，均为20 mm。

首先预测较长悬伸长度的刀具T1的刀尖点频响函数，为验证预测的准确性，在T1刀尖点处进行模态锤击实验，获得其实测刀尖点频响函数，二者实部、虚部的对比如图10所示。

从图10中可以看出，预测与实测频响函数的实部、虚部曲线在整体上符合较好，前三阶固有频率处具有很好的一致性。

然后预测较短悬伸长度的刀具T2的刀尖点频响函数，同时为了验证不同刀具直径对预测结果的影响，T2刀具的直径选为8 mm。使用上述相同方法得出T2刀尖点的预测、实测频响函数，二者实部、虚部的对比如图11所示。

(a)实部

(a)实部

从图11可以看出，T2刀尖点的预测频响函数与实测频响函数的实部、虚部曲线在整体上符合较好，虽在第一阶固有频率处预测曲线具有一定的误差，但其总体趋势符合较好，且二者曲线中固有频率基本相同。第二阶、第三阶固有频率处预测曲线与实测曲线符合程度较好。说明刀具直径在较小范围内变化时，本文预测方法仍是准确的。

上述实验刀具T0和预测刀具T1、T2材料均为高速钢，为研究不同材料对预测结果的影响，对硬质合金刀具T3的刀尖点频响函数进行预测。使用与上述相同的方法得到T3刀尖点预测频响函数和实测频响函数，二者的实部、虚部对比如图12所示。

(a)实部

(b)虚部图12　刀具T3刀尖点预测、实测频响函数对比

从图12可以看出，T3刀尖点的预测频响函数与实测频响函数曲线符合也很好，前三阶固有频率基本相同。由于刀具材料通常为硬质合金和高速钢两种，所以，本文方法适用于不同材料刀具的刀尖点频响函数的预测。

为进一步比较上述预测结果的准确性，从图10～图12的T1、T2、T3刀具的预测、实测刀尖点频响函数曲线中分别求出各自的前3阶固有频率fn，如表2所示。

表2T1、T2、T3刀尖点预测和实测前三阶固有频率

刀具号数据项模态阶次n123T1实测(Hz)4869471349预测(Hz)4829361330误差(%)0.81.21.4T2实测(Hz)104518312184预测(Hz)97318012291误差(%)6.91.64.9T3实测(Hz)89312141628预测(Hz)90611861645误差(%)1.52.31.0

从表2中可以看出，刀尖点预测和实测固有频率均比较接近，最大误差为6.9%，最小误差仅为0.8%，可认为本文预测的频响函数是准确的。

从上述的实验分析结果可知，通过本文方法预测得到的刀尖点频响函数与实测刀尖点频响函数具有较好的一致性，实测与预测的刀尖点频响函数的前三阶固有频率误差较小，同时，相比于其他刀尖点频响函数预测方法，本文预测结果准确性较高，且无需考虑主轴-刀柄和刀柄-刀具两处结合面的建模及其参数的识别，计算过程更加简单方便。本文刀尖点频响函数预测方法是可行的、准确的，可以应用于实际的切削加工稳定性研究中。

5　结论

(1)提出一种改进的基于RCSA方法的铣刀刀尖点频响函数的预测方法。该方法首先将机床系统划分为机床-主轴-刀柄-部分刀杆、剩余刀杆和刀齿三个子结构，通过铣刀的模态锤击实验由反向RSCA和一阶有限差分法得出机床-主轴-刀柄结构的转动频响函数，然后由Euler梁模型计算出两端自由的刀杆和刀齿子结构的频响函数，最后将三者进行耦合预测出刀尖点的频响函数。

(2)以加工中心上三把不同铣刀为研究对象，分别得出其预测和实测的刀尖点的频响函数并进行对比，对比结果表明：刀尖点的预测频响函数与实测频响函数符合程度较高，其预测、实测固有频率之间的误差在6.9%以内，具有较高的预测精度，本文预测方法是有效的、准确的，适用于具有相似刀柄安装情况的任意悬伸长度的铣刀刀尖点频响函数的预测。

(3)本文将机床-主轴、刀柄和一部分刀杆作为一个整体，直接通过铣刀的模态实验求取机床-主轴-刀柄处的转动频响函数，避免了主轴-刀柄和刀柄-刀具两处结合面参数的辨识和实验刀柄模型的制作，计算简单，预测快速、准确，便于实际应用。

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(编辑郭伟)

An Improved Tool Point Frequency Response Function Prediction Method Based on RCSA

Zhu JianminWang JianZhang TongchaoLi Xiaoru

University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai,200093

The present predicting methods of tool point frequency response function (FRF) based on RCSA needed to identify the joint parameters of the spindle-holder and holder-tool joints and to manufacture the artificial tool-holder model, which will result in predicting errors and complexity, aiming at these problems, this paper presented an improved tool point FRF predicting method based on the RCSA. This method firstly improved the present substructure separating methods, and separated the machine-spindle-holder-tool structure into three parts: the machine-spindle-holder-partial tool bar, the remaining toolbar and the tool tooth; then improved the method for calculating the rotating FRFs of the machine-spindle-holder-partial tool bar through inverse RCSA and finite difference method by applying modal impact test on the toolbar, and calculated the FRFs of the remaining toolbar and tool tooth using Euler beam theory;finally the tool point FRF was predicted by coupling the three parts’ FRFs. Experiments conducted on a machining center show that the predicted and measured tool point FRFs are in good agreement, the error between the first three order natural frequencies of the predicted and measured FRFs are within 6.9%, the proposed method is feasible, effective and easy to carry out, it can compute the spindle-holder’s rotating FRFs directly based on the tool modal experiments, avoiding the identification of the joint parameters and the manufacturing of the holder model.

milling cutter；tool point frequency response function；prediction；receptance coupling substructure analysis (RCSA)

2014-10-13

国家自然科学基金资助项目(50975179)；上海市教委科研创新项目(11ZZ136)；上海市科委科研计划资助项目(13160502500)；沪江基金资助项目(D14005)

TH113DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.03.001

朱坚民，男，1968年生。上海理工大学机械工程学院教授、博士研究生导师。主要研究方向为机电系统的智能测控。王健(通信作者)，男，1989年生。上海理工大学机械工程学院硕士研究生。张统超，男，1990年生。上海理工大学机械工程学院硕士研究生。李孝茹，女，1980年生。上海理工大学机械工程学院博士研究生。