例谈不等式放缩中的常见错误

王云龙

证明数列型不等式，是我们在学习中经常遇到的热点问题也是难点问题，在学习处理这些问题时数学学习能力能得到极大的体现，是高考命题的热点问题。处理数列型不等式最重要的方法为放缩法。其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握，经常出现一些典型错误。本文以几个典型的数列型不等式放缩时出现的问题为例，探究放缩法在其中的应用，希望能给学生学习放缩法时一些启示。

例1：设数列{an}，an=，数列{an}的前n项和为Tn，求证：对任意n∈N*的有Tn<成立。

分析：研究数列通项，为了能保证左边能够求和，很容易想到处理通项的分母，即：

“丢掉数字1”，通过an=<放缩。

误区一：从第一项开始放大当n≥1时，

则Tn<++…+=<

这里能够放缩得到一个常数，但是>，不能够接着使用不等式的传递性。

误区二：第二项开始放大当n≥2时，则：

Tn<++…+=+<>。

同样>，不能够接着使用不等式的传递性。

原因探究：放缩时机选择不对。

处理办法：分析上面的错误，我们知道要继续调整放缩的“时机”，即考虑从哪一项开始放缩，这就需要我们从n=1，n=2，n=3，…逐一调试。

正解：当n≥3时，则Tn=++++…+<++++…+=+

=+1-？摇n-2<+=<=

又∵T1

感悟：放缩不等式如果“放过了头”，只要保证方向明确，可以逐一调试，让常数逐渐“靠近目标”，从而得证。

例2：设数列{cn}的通项公式cn=，n∈N*，求证：c1+c2+c3+…+cn<。

分析：观察通项，要保证左边能够求和，考虑处理分母，努力将分母构造成等比数列的形式。

误区：直接处理cn=≤，

则c1+c2+c2+…+cn≤+++…+=1-<1，而1>，不能再继续，若考虑放缩的时机，从n=1，n=2，n=3，…逐一调试。理论上只要“足够多次”可以达到“靠近目标”的目的，但需要“艰苦卓绝”的计算。

原因探究：放缩的策略选择不对。

处理办法：考虑上面放缩方式，直接“丢掉n”放的尺度太大，逐一考虑放缩的策略：<，<，<，…，从而选择合理的策略。

正解：当n≥5时，<，

则c1+c2+c3+…+cn<++++++…+=？摇<<

感悟：这里调试选择合理的策略，可以逐一调试，逐渐让放缩的策略最优，从而得证。

探究：如何确定放缩的尺度，不能过当，是应用放缩法证明中关键且最难把握的问题。这需要勤于观察和思考，抓住欲证命题的特点，只有这样，才能使问题迎刃而解。

正确理解放缩法中常出现的“放缩时机选择不对”，“放缩的策略选择不对”这两种错误，证明数列型不等式时，就会豁然开朗，快速找到突破口，成为解决此类题的高手。

（作者单位：湖北省襄阳市第五中学）