例谈“动静结合”在解题中的应用

陈玉凤

动静结合是道家境界之一，一方面是指道家在练功方式上强调静功与动功的密切结合，在练动功时要掌握“动中有静”，在练静功时要体会“静中有动”。高中数学解题中有很多问题也蕴含着“动”与“静”关系的把握，动静结合是数学解题中常用的方法之一，本文结合笔者的经验和大家一同感悟使用“动静结合”转化的解题策略的几种典型情形。

一、动静相对，动静互换

例1：过圆x2+y2=r2内部一点M（a，b）作动弦AB，过A，B分别作圆的切线，设两条切线的交点为P，求证：点P恒在一条定直线上运动。

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），不妨将A，B，P都视为定点（视动为静），先求直线AB的方程.切线PA的方程为x1x+y1y=r2，切线PB的方程为x2x+y2y=r2

∵点P在切线上，∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

这表明A，B都在直线x0x+y0y=r2上，故直线AB的方程为x0x+y0y=r2

又因点M（a，b）在直线AB上，所以x0a+y0b=r2

任意点P（x0，y0）都满足上式，故动点P必在定直线ax+by=r2上（换静为动）

点评：常与变、动与静的角色是相对的，同一对象，根据需要随时灵活选择和变换其角色，能使复杂的问题得以较为简单解决。

二、动中有静，动中找静

例2：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，点Q为CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，则三棱锥P-EFQ体积的最大值为     。

[A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [图1]

分析：读题成图（图1左侧），求三棱锥P-EFQ体积，顶点P在动，底面三角形EFQ在动，变元太多，怎么求呢？此时将动点E、F作“静态”处理，视“动”为“静”，连接A1D和B1C（图1右侧），发现三角形EFQ始终在对角面A1B1CD上运动，它的面积恒为定值××1=，顶点P到底面三角形EFQ的距离即为P到对角面A1B1CD的距离，即PD，所以所求的三棱锥体积最大值为。

点评：从以上例题可以看出，充分挖掘题目的隐含条件，洞察问题的本质，将问题视为运动变化过程中的某一静止时刻，如上例中动三角形在定矩形中运动，动中找静，以静制动，排除干扰，化繁为简，使问题迎刃而解。

三、静中有动，静中觅动

例3：已知圆C∶（x-2）2+y2=1，点P在直线l∶x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A、B两点，且点A为PB的中点，则点P横坐标x0的取值范围是     。

[A][B][P][O][x][y][y][A][B][P][O][x][C] [图2]

分析：解决这道题，就是先“固定”点P，让A与B“动起来”，则当=满足题意，而∈[，+∞]（如图2），所以≤，即PC≤3，从而得（x0-2）2+（-x0-1）2≤32，解得x0∈[-1，2]。

点评：辩证法认为动与静是相对的，是事物运动变化过程中的两个方面，二者相互依存，相互蕴含，相互转化.从例3可以看出，对一些表面看似静态的但含有“变元”的问题，不妨让变元“动起来”，从而打开解题通道，准确无误解决问题。

综上所述，数学解题过程中蕴含着“动”与“静”这种对立和统一的关系.解题中若能有效联想上面三类“动静结合”的解题策略，会使一些复杂的问题巧妙地得到解决。

·编辑 王团兰