例谈“多变量”不等式恒成立问题

冯敏

本文给出求解“多变量”不等式恒成立问题的通性通法，有利于迅速转化问题，提高解题技能.

常见类型一：遇到涉及“对于任意的x1，x2∈D，都有f（x1）-f（x2）≤k（k为正常数）恒成立”问题，可转化为先求函数f（x）在区间D上的最大值和最小值;然后根据f（x1）-f（x2）≤f（x）max-f（x）min（x∈D）即可顺利求解.

例1 已知函数f（x）=ax3+·cosθ·x2-2x+c的图象经过点

（1，），且在[-2，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增.

（1）求f（x）的解析式;（2）若对于任意的x1，x2∈[m，m+3]（m≥0），不等式f（x1）-f（x2）≤恒成立，求m的取值范围.

分析：第（1）问需要将已知条件充分运用;第（2）问的关键是利用函数的单调性求f（x）在[m，m+3]上的最小值和最大值，而在利用单调性时要注意按m与1的大小关系讨论.

解析：（1）根据f ′（1）=0

f ′（-2）≤0可求得f（x）=x3+x2-2x+.（具体过程，略）

（2）当m≥1时，∵由题设易知函数f（x）在[m，m+3]上单调递增，又由不等式f（x1）-f（x2）≤恒成立得≥f（x）max-f（x）min（其中x∈[m，m+3]），

∴≥f（m+3）-f（m）=3m2+12m+?-5≤m≤1，又m≥1，∴m=1适合题意.

当0≤m<1时，∵由题设易知函数f（x）在[m，1]上单调递减，在[1，m+3]上单调递增，∴在[m，m+3]上，f（x）max=f（1），f（x）min=max{f（m），f（m+3）}.

又由f（m+3）-f（m）=3m2+12m+>0知，f（x）max=f（m+3）;由

f（x）在[m+3，4]上单调递增，得f（m+3）

综上知，所求m的取值范围是[0，1].

评注：本题第（2）问要注意“分类与整合思想”和“转化思想”在解题中的灵活运用.

常见类型二：遇到涉及“对于任意的x1，x2，x3∈D，都有f（x1）+

f（x2）>f（x3）恒成立”问题，可转化为先求函数f（x）在区间D上的最大值和最小值;然后根据f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立?2f（x）min>f（x）max（x∈D）即可顺利求解.

例2 已知函数f（x）=x3+（-）x2+（-a）x（a是小于1的正实数，x∈R）.若对于任意的x1，x2，x3∈[1，2]，都有f（x1）+

f（x2）>f（x3）恒成立，求a的取值范围.

分析：由于在区间[1，2]上f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立?2f（x）min>f（x）max（x∈[1，2]），所以本题关键是求函数f（x）在[1，2]上的最大值和最小值.

解析：∵f ′（x）=x2+（a-）x+（-a）=（x-）（x+a-2），∴令

f ′（x）=0，则x=或x=2-a.又由00，则解得x<或x>2-a;令f ′（x）=0，则解得

于是，易知函数f（x）在[1，2-a]上递减，在[2-a，2]上递增.从而，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2-a）=（2-a）2，最大值为max{f（1），f（2）}=max{-，a}.

∵易知当0-.又∵由于对任意x1，x2，x3∈[1，2]都有f（x1）+f（x2）>f（x3）恒成立得2f（x）min>f（x）max（x∈[1，2]）.

∴当0-，结合0a，结合

综上知，所求a的取值范围是（1-，2-）.

评注：本题探求解题思路的突破口在于，将已知不等式恒成立准确转化为关于函数f（x）在[1，2]上的最大值和最小值问题.

综上所述，借助求导知识有利于分析函数的单调性，由单调性便于分析函数在某区间上的最大值和最小值，从而有利于将“多变量”恒成立问题加以转化，达到简捷求解的目的.

·编辑 王团兰