具有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数

牡 丹

（湖北民族学院理学院，湖北　恩施　445000）

具有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数

牡 丹

（湖北民族学院理学院，湖北恩施445000）

考虑了具有转移条件的Sturm-Liouville问题，即在有限区间上具有转移条件的问题，并给出了具有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数.

Sturm-Liouville问题；转移条件；Green函数

Sturm-Liouville（S-L）算子是常微分算子理论中一类十分重要的微分算子.S-L问题起源于固体热传导的数学模型的描述，自问世以来，S-L问题在各种理论科学及应用科学领域里有着广泛的应用［1-3］.近些年，算子域中的函数或其导数具有不连续性的问题引起了广泛的关注［4-8］.

在文献［9-10］中，作者考虑了具有转移条件的S-L算子，并证明了自共轭性.本文中我们研究在相邻两个区间［-1，0）和（0，1］上具有分离型边界条件和转移条件的S-L问题，给出具有转移条件的S-L问题的Green函数按特征函数的展开式.

在经典的S-L算子问题中，可以利用S-L算子的Green函数，把微分算子问题转化成积分算子问题来进行研究.因此微分算子的Green函数是研究算子问题的主要工具之一.与经典的S-L算子类似，可以构造具有转移条件的S-L算子的Green函数，可以把具有转移条件的S-L算子问题转化成相应的积分算子问题.

在Naimark的著作［11］中作者讨论了经典的S-L算子以及其Green函数G（x，ξ，λ），并给出Green函数按特征函数的展开.本文中，考虑具有转移条件的S-L算子，并给出具有转移条件问题的Green函数按特征函数的展开.

考虑如下Sturm-Liouville方程：

本文的结构为：首先给出所考虑的Sturm-Liouville方程以及相应的边界条件和转移条件.其次定义与转移条件相关联的内积，得到一个新的Hilbert空间，在这一空间中研究具有分离型边界条件和转移条件的SL问题；并构造了S-L方程的两个线性无关解.最后一节给出具有转移条件的S-L问题的Green函数，并利用具有转移条件的S-L问题的特征值和特征函数对Green函数进行展开.

1　Sturm-Liouville方程的解

在这一节首先定义与转移条件（4）～（5）相关联的内积，得到一个新的Hilbert空间，在这一新空间中研究具有分离型边界条件和转移条件的S-L问题（1）～（6），再构造S-L方程（1）的两个线性无关解.

在L2（I）中定义一种依赖于转移条件的新内积：

定理1 具有转移条件的S-L问题（1）～（6）是自共轭的，且具有可数多个特征值；在相应的Hilbert空间H上，S-L问题的特征函数系是完备的.

证明 见文献［9-10］.

下面构造S-L方程（1）的满足转移条件的两个解.由文献［10］中的定理1.5知：对于每个λ∈ CC，初值问题：

有唯一解φ1（x，λ），且对于每个固定的x∈［-1，0），φ1（x，λ）是关于λ的整函数.设φ2（x，λ）为如下初值问题：

的解，则对于每个固定的x∈（0，1］，φ2（x，λ）是关于λ的整函数.令φ（x，λ）为：

则φ（x，λ）是S-L方程（1）满足边界条件（2）和和转移条件（4）～（5）的解.

用类似的方法定义S-L方程（1）的另一解χ（x，λ）.设χ2（x，λ）为初值问题：

的解，则对于每个固定的x∈（0，1］，χ2（x，λ）是关于λ的整函数.又设χ1（x，λ）为如下初值问题：

的解，则对于每个固定的x∈［-1，0），χ1（x，λ）是关于λ的整函数.令：

由式（9）～（10）知：χ（x，λ）是S-L方程（1）满足边界条件（3）和转移条件（4）～（5）的解.

2　Sturm-Liouville问题的Green函数

这一节我们构造具有转移条件的S-L问题（1）～（6）的Green函数，并给出Green函数按特征函数的展开.

考虑如下的非齐次的微分方程：

赋予边界条件和转移条件（2）～（5），其中f∈H，非齐次的微分方程（11）的通解可以表示成：

定理2 设f∈H，并设λ不是S-L问题（1）-（6）的特征值，则S-L问题（1）～（6）的Green函数为如下：

满足方程（11）及边界和转移条件（2）～（5），其中G（x，ξ，λ）是S-L问题（1）～（6）的Green函数.

证明 见文献［13-14］.

在本文中，假设λ=0不是S-L问题（1）～（6）的特征值，那么：G（x，ξ）=G（x，ξ，0）.

引理2 具有转移条件的S-L问题（1）～（6）等价于：

证明 见文献［14］.

在文献［14］中，对具有转移条件的S-L问题的Green函数按特征函数进行展开，得到：其中λn是具有转移条件的S-L问题（1）～（6）的特征值，φn（x）为相应的标准特征函数.

下面讨论具有转移条件的S-L问题（1）～（6）的Green函数的另一种展开形式.

定理3 设λ不是具有转移条件的S-L问题（1）～（6）的特征值，则：

其中：λn是S-L问题（1）～（6）的特征值，φn（x）为相应的标准特征函数.

在给出定理3的证明之前，先考虑下面的引理.

引理3 设y，f∈H且满足非齐次方程（11）.设λ不是具有转移条件的S-L问题（1）～（6）的特征值，又设λn为S-L问题（1）～（6）的特征值，则：

［1］AZIZ A K，HUBBARD B E.Bounds for the solution of the Sturm-Liouville problem with application to finite difference methods［J］.J Soc Indust Appl，1964，12：163-178.

［2］BREUER S，GOTTLIEB D.Upper and lower bounds on eigenvalues of Sturm-Liouville systems［J］.J Math Anal Appl，1971，36：465-476.

［3］WILKENINY J，CENFON A.A spectral transform method for singular Sturm-Liouville problems with Applications to Energy diffusion in Plusma Physics［J］.Siam J Appl Math，2013，75：350-392.

［4］MUKHTAROV O S，AYDEMIR K.Eigenfunction expansion for Sturm-Linuille problems with tramsmission conditions at one ihterior point［J］.Actu Muthematica Scientiu，2015，35（3）：639-649.

［5］ZHANG M.Regular approximation of singular Stum-Liouville problems with transmission conditions［J］.Applied Mathomatics&Computation，2014，247：511-520.

［6］BUSCHMANNAT D，STOLZ G，WEIDMANN J.One-dimensional Schrodinger operators with local point interactions［J］.J Reine Angew Math，1995，467：169-186.

［7］GESZTESY F，KIRSCH W.One-dimensional Schrodinger operators with interactions singular on a discrete set［J］.J Reine Angew Math，1985，362：27-50.

［8］SH O，MUKHTAROVB，YAKUBOV S.Problems for ordinary differential equations with transmission conditions［J］.Applicable Analysis，2002，81：1033-1064.

［9］SUN J，WANG A.Sturm-Liouville operators with interface conditions［J］.The progress of research for Math，Mech，Phys and High Tech，Science Press，Beijing，2008，12：513-516.

［10］王爱萍.关于Weidmann猜想及具有转移条件微分算子的研究［D］.呼和浩特：内蒙古大学，2006.

［11］NAIMARK M A.Linear Differential Operators［M］.New York：English transl.in：Ungar，1968.

［12］TITCHMARSH E C.Eigenfunction Expansions Associated with Second-order Differential Equations［M］.Oxford：Part I，second edition，1962.

［13］牡丹.具有转移条件的Sturm-Liouville算子和具有点作用的Schrödinger算子谱分析的研究［M］.呼和浩特：内蒙古大学，2014.

［14］MUDAN Bai，JIONGSun，SIQIN Yao.The modified Parseval equality of Sturm-Liouville problem with transmission conditions［J］.Journal of Applied Mathematics，［2015-09-20］2013（在线）.http：//www.hindawi.com/journals/jam/2013/619358/.

责任编辑：时 凌

Green′s Function of Sturm-Liouville Problem with Transmission Conditions

MU Dan
（School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000，China）

We consider the Sturm-Liouville problems with a very general transmission condition on a finite interval and give the eigenfunction expansion of Green′s function of the Sturm-Liouville problems with transmission conditions.

Sturm-Liouville problems；transmission conditions；Green′s function

0177.1；0175.3

A

1008-8423（2015）04-0379-05DOI：10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.006

2015-10-13.

湖北省教育厅科学技术研究项目（B2015099）；湖北民族学院博士启动基金项目（4148009）.

牡丹（1980-），女（蒙古族），博士，讲师，主要从事常微分算子谱理论的研究.