电磁场散射问题PML逼近方程棱离散系统的一种预条件子方法

刘春梅

（湖南科技学院 理学院，湖南 永州425199）

电磁场散射问题PML逼近方程棱离散系统的一种预条件子方法

刘春梅

（湖南科技学院 理学院，湖南 永州425199）

文章针对一类二维散射电磁场PML逼近方程棱有限元离散系统，为其构造了一种基于PGmres方法的高效预条件子，本质地将该预条件行为转化成两个对称正定问题的求解，然后利用基于HX预条件子的PCG方法求解这两个对称正定问题对应的离散系统，数值实验表明，当回头数较大时，PGmres方法求解二维散射电磁场PML逼近方程棱有限元离散系统是高效的。

PML逼近方程；预条件子

1　模型问题及变分问题

考虑如下模型问题［1］

图1. 计算区域

注意到Q是对称不定矩阵，其条件数很差，而且当问题规模变大时，其条件数越差，因为为其构造快速算法是非常必要的。

2　预条件子构造

本节我们将为对称不定系统（1.4）构造高效预条件子。

设其对应的矩阵为Aˆ， 显然该矩阵为对称正定矩阵。

接着为求解不定系统（1.4）的PGmres构造如下预条件子

即用PGmres法求解如下预条件系统

本文中我们将采用基于HX预条件子（见文［2］）的PCG求解上述两个对称正定离散系统。

3　数值实验

第二个分向量函数的电场分布情形，在下面的实验中，我们将分别与之作比较。

图2. 真解函数ur的第一个分量（左图）和第二个分量（右图）的电场分布图

图4. PGmres方法求解时解函数（左图）和（右图）的电场分布图

图4和图5分别为PGMREs方法求解时有限元解函数的实部和虚部的两个分量的电场分布图， 分别与图2和图3比较可知， 我们所求的有限元解函数能很好地模拟真解函数。

下面采用基于预条件子-1C的PGMREs方法求解不定系统（1.4）。

图5. PGmres方法求解时解函数（左图）和（右图）的电场分布图

表1. 回头数=10 时PGmres方法求解（1.4）的数值实验

表2. 回头数=40 时PGmres方法求解（1.4）的数值实验

表3.回头数=40 时PGmres方法求解（1.4）的数值实验

上述数值实验可知，当回头数较大时，PGmres方法求解不定系统（1.4）是有效的。

［1］J. Bramble and J.Pasciak，Analysis of a cartesian PML approximation to the three dimensional electromagnetic wave scattering problem，Int.J.Numer.Anal. Model.2012，9：543-561.

［2］RHiptmair and J.Xu，Nodal auxiliary spaces preconditions in H（curl） and H（div） spaces，SIAM J.Numer.Anal.，2007，45：2483-2509.

［3］C.M. Liu， S. Shu， Y.Q. Huang， L.Q.Zhong and J.X. Wang， An iterative two grid method of a finite element PML approximation for the two dimensional Maxwell problem， Adv. Appl. Math. Mech.，2012，4（2）：175-189.

（责任编校：何俊华）

O343.3； TB115

A

1673-2219（2015）05-0011-05

2015－01－20

国家自然科学基金（11426102）。

刘春梅（1981－），女，山西五台人，博士，讲师，主要研究方向为区域分解及多重网格法。