大学物理中引入质心的作用

郑晓毅

【摘 要】 质心概念是大学物理中一个重要的知识点，有着非常广泛的应用。文章从质心的引入和定义出发，分析了质心概念在多体系统的动量守恒定理、刚体力学中的平行轴定理、刚体的动能与势能中的重要应用。表明引入质心概念在处理经典物理问题的优越性。

【关键词】质心;动量守恒;平行轴定理;平动动能;转动动能

中图分类号：O412 文献标识码：A 文章编号：

在大学物理中，质心是质点系力学和刚体力学中一个非常重要的概念，而且应用广泛。诸如多体系统的动量守恒定理，刚体力学中的平行轴定理，刚体的动能与势能推导中都可以看到质心的作用。这些物理定理的掌握与应用，是学生在大学物理课程学习的重要内容。本文从质心的引入以及定义出发，从几个方面分析了质心概念在大学物理中的重要应用。

一、质心的引入：

考虑最简单的一维空间中的两个物体1和2，质量分别为m1和m2。讨论两个物体的动力学方程，应用牛顿第二定律，对于物体1，有：

m1=m1x1=F1=F21+F1e     （1）

其中x1为的简写，F12表示物体2对物体1的作用力，Fle表示除物体2以外外界对物体1的作用力，F1便表示物体1所受到的合外力。同理，对于物体2，有：

m2=m2x2=F2=F12+F2e     （2）

将式（1）和式（2）左右两边相加起来，则有：

m1x1+m2x2=F12+F1e+F21+F2e    （3）

根据牛顿第三定律，式（3）可以简化为：

m1x1+m2x2=F1e+F2e+Fe     （4）

此时，我们引入一个新的物理量，令其为：X=，式（4）则可改写成：MX=Fe

引入的新物理量则为质心，它是系统质量分布位置的一种加权平均，表明对于整个系统，可以将其看成是所有质量位于质心处的一个整体，其动力学方程仅受到合外力的影响，这便是质心以及质心运动定理。将以上质心的概念推广到多维空间中多个物体构成的质点系，得到质心的一般形式：

M=e，其中=，M=mi，其中，

二、质心与多体系统的动量守恒定理

对于质点系组成的多体系统，其动力学规律满足质心运

动定理。则有M=e，当e=0，则质点系所受到的合外力为0，此时有M=constant，

也即M×=mii=constant，也就是质点系

的动量和保持恒量，即动量守恒。可见，动量守恒定理实际上便是质点系的质心动量保持不变。

三、质心与刚体中的平行轴定理

将质点系推广到刚体系统，质心的概念同样有着非常重要的作用。譬如在刚体的转动惯量的计算上也有非常重要的应用。对于一任意质量为m的刚体，若其转动中心O与其质心C的距离d，用表示，刚体上任意的一小部分物体质量为mi，转动中心O与质心C到其的位矢分别用i和i表示，则对于任意的mi，总有：i=i+，则刚体对于转动中心O的转动惯量I为：

Io=mii=mi（i+）（i+）

=miri2+d2mi+2mii  （5）

其中mii=×mi，i是以质心c为原点的位矢，也就是说在以质心为原点的坐标系中，质心显然为0 。所以式（5）可以写成：

Io=miri2+d2m=IC+md2  （6）

此即为平行轴定理。表明了对于任意质量为m的刚体，其对任意转动中心O的转动惯量I0，其大小等于对质心C的转动惯量Ic加上md2，其中d为转动中心O与质心C的距离。同时，由于md2恒大于零，可以看出，对于任意刚体，围绕其质心C的转动惯量Ic是最小的。

四、质心与刚体的动能

紧接着，我们看质心在质点系动能计算中的作用。讨论由多个物体构成的质量为M的质点系的动能。有：

k=mivi2，i表示质点系任意一部分相对于地面参考

系的速度，将i写成i=c+ci，其中c表示质点系质心相对于地面参考系的速度，ci表示质点系任意一部分相对于质心的速度。则有：

K=mi（vc2+vci2+2c·ci）=Mvc2+mivci2+c· mici     （7）

同样地，在以质心为原点表示的质点系的动量，也即=i=mici=0所以式（7）可以简化为：

K=Mvc2+mivci2   （8）

也即是质点系的总动能看以看成是其全部质量集中在质心处的动能加上系统各部分想对于质心的动能。特别地，将质点系推广到一般刚体，若刚体不做转动，那么刚体上各质元对质心的动能为零，刚体的总动能可以看成是在刚体全部质量集中在质心处的平动动能，若刚体有做转动，则式（8）为：

K=Mvc2+mivci2=Mvc2+mirci2w2=Mvc2+ICw2 （9）

此时，刚体的总动能为刚体全部质量集中在质心处的平动动能加上刚体上各质元相对于其质心的转动动能。

五、质心与刚体的势能

一个刚体受到保守力的作用，可以引入相应的势能。如在重力场中的刚体就具有一定的重力势能，它的重力势能便是它的各质元重力势能的总和。对于一个质量为M的刚体，它的重力势能为：

U=mighi=gmihi  （10）

又因为，此时刚体的质心为：hc=

所以式（10）可以写成：U=Mghc，也即是刚体的重力势能可以看成其全部质量集中在质心处时候的重力势能。

六、讨论与总结

通过上面的讨论可以看到，在质点组力学以及刚体力学中引入质心的概念是非常有用的。引入质心概念后，可以很自然地得出多体系统的动量守恒定理以及刚体转动惯量的平行轴定理。同时，利用质心的概念，使得刚体的动能以及势能得到更加准确的表述，这表明了质心在处理这类经典物理问题中的优越性。

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