两个不同次幂等矩阵线性组合的幂等性

【摘 要】给出了当矩阵与分别为不同次幂等矩阵时，其线性组合为某次幂等矩阵的一些充分条件。

【关键词】幂等矩阵；线性组合；幂等性

【Abstract】In the paper， when matrices A and B have different power， some sufficient conditions for the idempotency of linear combination of （c1A+c2B）are given.

【Key words】Idempotent； Linear combination； Idempotent

0 背景及定义

一些特殊矩阵线性组合的幂等性问题在概率统计中有着重要的应用[1，2]。近年来，幂等矩阵线性组合的研究已经有了很多成果[3-10]，立方次幂等矩阵线性组合的立方次幂等性的研究也有了一些进展[11-13]。本文不同次幂等矩阵线性组合的幂等性进行了研究探讨，并给出了一些充分条件。

首先，给出本文中常用的一些定义。

定义1：P∈Cn×n，若P 2=P，则称P为幂等矩阵。

定义2：P∈Cn×n，若P 3=P，则称P为立方次幂等矩阵。

定义3：P∈Cn×n若P 2=I，则称P为对合矩阵，对合矩阵也是立方次幂等矩阵。

定义4：P∈Cn×n，m∈N+，若P m=P，m？叟3，则称P为m次幂等矩阵。

1 主要结果及证明

【参考文献】

[1]Baksalary J K， Baksalary O M. Idemoptency of linear combinations of three idempotent matrices [J]. Linear Algebra Appl， 2000，321：3-7.

[2]Baksalary O M. Idemoptency of linear combinations of three idempotent matrices， two of which are disjoint [J]. Linear Algebra Appl， 2004，388：67-68.

[3]Benitez J， Thome N. Idemoptency of linear combinations of an idempotent matrix and t-potent matrix and commute [J]. Linear Algebra Appl， 2004，403：414-418.

[4]Baksalary O M， Benitez J. Idemoptency of linear combinations of three idempotent matrices， two of which are commuting [J]. Linear Algebra Appl， 2007，424：320-337.

[5]Horn R A， Johnson C R. Matrices analysis [M]. Cambridge： CambridgeUniversity Press， 1991.

[6]Ozdemir H， Ozban A Y. On idempotency of linear combinations of idempotent matrices [J]. Applied Mathematics and Computation， 2004，159：439-448.

[7]王月清，王爱丽. 3个幂等矩阵线性组合的幂等性[J].宝鸡文理学院学报：自然科学版，2005，25（3）：166-167.

[8]谢涛.关于3个幂等矩阵线性组合的若干探讨[J].宝鸡文理学院学报：自然科学版，2010，30（1）：11-13.

[9]谢涛.四个幂等矩阵线性组合的幂等性[J].湖北师范学院学报：自然科学版，2010，30（4）：15-18.

[10]崔润卿，李幸兰.n个幂等矩阵线性组合的幂等性[J].江汉大学学报：自然科学版，2013，2：10-12.

[11]Baksalary J K， Baksalary O M， Styan G P H. Idemoptency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix [J]. Linear Algebra Appl， 2002，354：414-418.

[12]Baksalary J K， Baksalary O M， Ozdemir H. A note on linear combinations of commuting tripotent matrices [J]. Linear Algebra Appl， 2004，388：45-51.

[13]杨凯凡.三个幂等矩阵的线性组合的三次幂等性[J].喀什师范学院学报，2009，30（3）：9-12.

[责任编辑：邓丽丽]