大学教师与中学教师关于《基本不等式》的“同课异构”评析

张蜀青，曹广福

（1．广州大学　数学与信息科学学院，广东　广州　510006；2．广州市执信中学，广东　广州　510095）

大学教师与中学教师关于《基本不等式》的“同课异构”评析

张蜀青1，2，曹广福1

（1．广州大学数学与信息科学学院，广东广州510006；2．广州市执信中学，广东广州510095）

介绍和总结了大学教师与中学教师关于基本不等式教学内容的不同设计，比较其异同.无论大学教师还是中学教师都非常注重教学过程中的启发诱导，但是他们的启发方式却明显不同：大学教师注重知识的学科价值与思想内涵，强调思想性的渗透，中学教师则注重授课细节，重视解题技巧与落实.通过对这种不同视角的“同课异构”，分析大学教师与中学教师不同的教育理念，进而反思中学数学原理课教学中应该注意的问题.

同课异构；基本不等式；教学理念；教学方法

1　引　言

作为广州大学数学与信息科学学院和广州市执信中学联手数学教育改革重要环节之一的课堂教学，由执信中学张蜀青于近期组织开展了一次别开生面的“同课异构”，曹广福教授与执信中学两位老师同台就“基本不等式”（第一课时，公式学习及求最值）各自上了一节公开课.参与听课与评课者有华南师范大学和广州大学数学教育研究专家及数学教育研究生、广州市教育局教研室以及执信中学数学科全体教师与兄弟中学的部分教师.邀请大学教师与中学教师在同一个平台上课的目的旨在探讨大学教育理念与中学教育理念之间的契合点，从而在学生的数学素养与应试能力之间寻找到合适的均衡点.

2　三位教师的课堂设计

2.1两位中学教师的设计思路比较类似均属传统教学方式

（1）公式引入：两位教师都选择了苏教版的引入办法，通过虚拟的天平物理实验得到算术平均数，再由力矩原理得到几何平均数.

（2）公式证明：两位教师从代数、几何多角度给出了基本不等式的证明，并在几何方法证明时解释一下几何平均数的由来.

（3）公式的强化学习（包括公式的使用）：通过若干例子强化对基本不等式的理解，教学过程环环相扣、落实到位.其中一位教师的进度是完成课本的例题与要求，她所任教的班级是重点班.另一位教师的进度则跳过了一些课本练习展开了一些变式技巧，该教师所任教的班级则是普通班.

2.2大学教师的课堂设计

曹广福执教这节课，与传统做法完全不同，首先简述了不等式的重要意义以及最大值最小值在数学发展史上的地位，然后通过如下几个思考题层层展开.

思考一：你家建房时还剩下些材料，你打算使用这些剩余材料在房子旁边依着墙壁修一个高度一定的矩形狗窝，你剩下的材料可以修一个长为L的围墙，请问如何修建可以获得最大面积的狗窝？

这是一个二次函数模型，学生很快解决.但将这个问题稍作变化得到另一个问题：

思考二：你家建房的材料用完了，没有准备好修建狗窝的材料，现在你计划依着墙壁修建一个面积为S的矩形狗窝，你已选中建狗窝的材料，狗窝的高度也确定了，如何以最小的成本建成这样的狗窝？

这个思考题中出现了函数：L=x+2S/x如何求这个函数的最小值？从而引出基本不等式的探究发现推导证明.

思考三：通过对两个基本不等式结构的分析，你认为什么情况下可能需要这两个基本不等式？它能帮助解决什么问题？

由此总结出：“当因式中含两个因子的和或两个因子的乘积时可能需要利用这些不等式化‘和’为‘积’或化‘积’为‘和’，目的是对目标函数做估计或者求最大值、最小值.”通过下面的例子对上述总结做一个诠释：

接着抛出第四个思考题：

思考四：当目标函数是两个因子的“积”或“和”时一定可以通过基本不等式求最值吗？

例子本身非常简单，学生通过观察便可以看出最大值是什么，但问题的关键在于，这个最大值能不能通过基本不等式得到？由此引发学生思考并得出下面的结论：

当基本不等式的两边有一边是定值时才有可能利用它求最值.

问题还没有彻底解决：

思考五：如果基本不等式的一边是定值，一定可以利用它求最值吗？

学生通过这个例子可以看到，即使满足“一正、二定”也未必可以通过令两个因子相等而解出取最值的那个点.最后让学生自己总结出利用基本不等式求最值的基本原则：

课后思考题：根据这节课的讨论，你认为什么时候可以利用基本不等式求最值？如何求最值？

4课堂评析

4.1对两位中学教师的教学过程评析

但是这节课的教学有两个方面的问题值得反思：（1）这节课的主题是什么？（2）对于基本不等式，重要的是发现还是证明？两位中学教师同时以天平做虚拟实验，但以天平实验引入存在两个方面的问题：① 物理实验的误差通常涉及很多因素，包括刻度、人眼的观察等，怎么知道天平两边的臂长就一定是l1与l2？又如何保证肉眼读出的数据是准确的？② 姑且假定导致误差的唯一因素是天平的臂长，如何通过这个实验说明两个正数的算术平均数不小于几何平均数？事实上，基本不等式的本质在于反映了两个因子的和与乘积之间的内在关系，他真正的科学价值在于通过“和”化积”或“积”化“和”将代数式或函数进行缩放从而得到简化最终完成估计（最大最小值问题也是如此）.天平实验并不能发现基本不等式，而将问题引到了两个平均数，显然偏离了主题，可见教材的引入方法值得商榷.当然，作为基本不等式的附带产品，适当介绍一下这两个平均是可以的.不过教师在课堂上始终没有对几何平均做出解释，后来在评课环节教育局教研室的教研员通过等比中项解释了为什么叫几何平均，虽然这个解释仅仅适用于两个正数情形，但至少可以直观地说明一点问题.

总的说来，两位教师对原理本身科学意义的阐述不足，这是有待改进的地方.

4.2对大学教师的教学过程评析

接着执教者通过问题三、四、五使学生通过解决问题去发现公式有什么用，使用公式有什么要注意的地方.

由于基本不等式有着很强的几何背景，所以教师提示学生：“几何与代数是密不可分的，几何可以帮助我们提供直观，帮助我们理解代数式的深刻内涵，代数则可以使几何问题的解决变得简单.看到两个正数的乘积你想到了什么？”学生答：“矩形面积或三角形面积.”“看到两个正数的平方和你想到了什么？”学生回答：“想到了勾股定理.”“换句话说，两个正数的平方实际上是以这两个正数为直角边的直角三角形斜边的平方，也可以看着以斜边为边的正方形的面积.”所有这些分析已经为学生完成基本不等式的几何证明提供了足够的信息，特别对于“元培班”这类优中选优的学生而言，完成证明完全不是难事.

执教者对基本不等式结构的分析主要基于两个方面，一是两个平均数，二是和与积的转化，后者是重点.所谓两个数的算术平均是指这样的数，它连加两次与原来两个数的和相等，所谓两个数的几何平均是指这样的数，它连乘两次等于原来两个数的乘积，这个概念可以推广到一般情形.算术平均学生不难理解，因为生活中很常见，几何平均则比较生疏，最好的例子是GDP的平均增长率或粮食的平均增长率.对于基本不等式，最重要的是通过对其结构的分析，让学生了解这个不等式的科学价值是什么.通过对不等式结构的分析，教师后面提出的一系列问题，并由此总结出：“当因式中含两个因子的和或两个因子的乘积时可能需要利用这些不等式化‘和’为‘积’或化‘积’为‘和’，目的是对目标函数做估计或者求最大值、最小值.”并通过具体的例子对上述总结做一个诠释.整个课堂体现出探索的精神，高屋建瓴有大格局感觉.

由于大学教师对学生了解不够充分，所以课时拖了一点时间，而且思考三、四、五在研究者看来可以把例题和问题的顺序换一下，课后调查一部分学生反应问题抛出来时不知道问什么（当然这也与教学双方第一次不太适应有关系）.

4.3大学教师和中学教师执教这节课的异同点

在3堂课上，可以看到教师们提出的每一个问题及问题情境都是为了启发诱导学生而精心设计，对于第一课时的教学内容选取基本一致（之前并未规定第一课时具体内容）.

两位中学教师采取的是传统教法，而大学教师对这节课的处理则与传统教学有很大不同，主要体现在“原理的发现与原理的证明哪个更重要”这个价值取向上.正如大学教师在评课环节所说：“书本、知识与课堂3者之间是什么关系？书本是知识的载体，那么知识呢？它是终极目标吗？课堂上将知识传授给学生，学生掌握了知识，教育过程就完成了吗？我不这么认为，我认为知识也是一种载体，它是思想的载体，教师在课堂上的任务是将隐藏在书本知识背后的思想挖掘出来展现给学生，并让学生融会贯通，这才是教育.就概念与原理课而言，虽说有上位学习与下位学习之分，但我认为，一个原理的发现比原理的证明更重要.”

弗赖登塔尔的数学教育理论认为（张奠宙，宋乃庆[1]），数学教育有5个基本特征：（1）情境问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目标；（3）学生通过自己的努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交叉是数学教育内容的呈现方式.简而言之即：现实、数学化、再创造.教师的课堂教学固然要体现数学教育的基本特征，但创设什么样的问题情境？如果从情境问题过渡到数学化？“互动”的形式是什么样的？这些都值得教师认真思考.很多人认为，所谓师生互动就是教师布置问题，学生动手解答，从数学教育的全过程来看，这个程序是必不可少的，但就一节或很多概念课与原理课而言，互动未必仅仅表现在这种外在的形式上，为了互动而互动很可能导致课堂教学的生硬.事实上，概念课与原理课的教学中，学生跟随着教师的启发完成整个的思维过程本身也是一种互动的形式.

注重学生的生活体验是没有错的，但注重生活体验不等于不要严谨性.“问题”是一切科学的灵魂，数学也不例外，但问题有真问题与伪问题之分.教材是教学的基础，它好比剧本，课堂好比电影或电视剧，教师既是导演也是演员，没有好的剧本，再好的导演也拍不出好看的作品，除非他在拍摄过程中重写剧情，但有多少导演能同时身兼剧作与导演二职？从研究者参考的几种不同版本的教材可以看出，教材可以改进之处甚多.

有一句名言说：“要给学生一碗水，教师需要有一桶水.”研究者对此不以为然.师生之间不是一桶水与一碗水的关系，如果一定要用水桶来比喻的话，那教师的这个桶应该有一个泉眼，可以不断向桶里进水，而且还得告诉学生如何去找这个泉眼甚至更多的泉眼.换言之，教师需要不断学习、不断提高、教学生学会发现、学会学习.

有些人认为，刷题得高分是硬道理，在研究者看来高分与素养并非一对矛盾，如果片面的为了高分而忽视了基本概念与原理的教学，最终培养出来的必然是会考试而不会应用的“高分低能”生.通过研究团队反复的探讨与实践，深切地意识到，完全可以通过概念课与原理课两个教学模块强化学生数学素养的培养（参见文[2]）.很多教师习惯于蜻蜓点水般将概念一带而过，原理课则采用多角度、高难度的方式强化证明训练，研究者认为有失偏颇.原理课的重点有两个，一是怎样发现原理，二是如何通过分析发现证明的思路，证明越简单越直接越好，完全没有必要把原理当成一般的题目来训练，即所谓的变式教学，那是舍本求末的做法.原理课的多角度证明与解题训练可以留到解题课完成.但是，这对教师提出了比较高的要求，教师既要对课程有宏观上的把握，又要对每节课有微观上的把握.所谓宏观即对于一门课程的整体把握，这就好比你选择某个课题，需要先清楚为什么选择这个课题，为了解决什么样的问题.任何一个学科都不是空中楼阁，都有其产生与发展的背景.所谓微观是指对某门课程中具体概念、定理的把握.张奠宙、张荫南先生在文[3]、文[4]中针对微积分教学首先提出了问题驱动课堂教学的观点，之后陆续有一些研究（参见文[5～8]）.其实，任何数学课程都应该围绕着问题进行，换言之，由问题驱动课堂教学.纵观数学发展史，任何数学理论的产生都是为了解决某些问题，恰恰是在对问题的分析与解决中闪现出数学思想的光芒.很难想象，离开了问题可以谈数学思想.

教育的成败在教师，大家一直强调教师要有一颗爱心，要有认真负责的精神，要爱岗敬业，要熟练掌握本门课程的内容，还要懂得教育学、心理学与教学法，仅仅具备这些条件尚不足以成为一个合格教师，文[9]谈到了数学教师应该具备的基本素质.研究者认为，一个合格的数学教师还应该熟悉数学史，如果教师对一门课程的历史一知半解甚至一无所知，很难想象，他能讲清楚这门课程.M·克莱因的《古今数学思想》[10～13]是值得每个数学教师认真研读的数学史书，中学教师至少应该通读其中的第一与第二册和其它两册中与中学数学内容有关的部分.如果你不了解历史，你又如何向学生讲清楚一个概念是如何产生的？关于这个问题已经有不少文章谈及（参见文[14～18]）教师还应该做点教学研究，努力探讨一个原理是如何产生的？它的科学价值何在？它为了解决什么问题？可以解决什么问题？原理中闪现出何种思想的光芒？如何寻找原理的证明？教师如果没有花一番苦功深入钻研，是无法通过合情推理完成课堂教学的，只能依样画葫芦停留在照本宣科的层面上，可喜的是现在大家已经关注到这个问题（参见文[19～22]）.

长期的合作研讨也让研究者及其研究团队意识到，教育问题要从源头抓起，一是对师范教育做更深入细致的改革，而不是停留在传统的教材教法层面上（参见文[23～26]）.二是对骨干教师培训进行改革，可以针对具体的内容共同探讨，而不是仅仅停留在理论辅导层面上.长期坚持下去，中国的基础教育或许能得到更好的改善.

[1]张奠宙，宋乃庆.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]何勇，曹广福.数学课堂如何兼顾学生数学素养与应试能力[J].数学教育学报，2014，23（2）：60-62.

[3]张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学[J].高等数学研究，2004，7（3）：8-10.

[4]张奠宙，张荫南.新概念：用问题驱动的数学教学（续）[J].高等数学研究，2004，7（5）：8-11.

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[6]杨玉栋，徐文斌.初议“本原性问题驱动课堂教学”[J].中学教研，2006，（5）：1-2.

[7]杨玉栋，徐文斌.本原性问题驱动课堂教学：理念、实践与反思[J].教育发展研究，2009，（20）：68-72.

[8]上海市控江中学课题组.本原性问题驱动的数学教学实践研究[J].数学教学，2009，（6）：4-9.

[9]曹广福.关于数学教育的一些认识——谈谈数学教师素质[J].数学教育学报，2004，13（1）：6-9.

[10]M·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

[11]M·克莱因.古今数学思想（第二册）[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

[12]M·克莱因.古今数学思想（第三册）[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

[13]M·克莱因.古今数学思想（第四册）[M].上海：上海科学技术出版社，1985.

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[25] 郭玉峰，刘佳.师范院校学生“导数”内容知识和教学内容知识理解情况的调研[J].数学教育学报，2014，23（1）：57-62.

[26] 胡启宙，孙庆括.高师数学教学论课程中参与式教学模式的建构[J].数学教育学报，2013，22（3）：77-79.

[责任编校：周学智]

Reflection of Heterogeneous Forms for the Same Subject between University Teachers and Middle School Teachers

ZHANG Shu-qing1,2, CAO Guang-fu1
(1. Mathematics and Information Science College, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;
2. Zhixing High School, Guangdong Guangzhou 510095, China)

This paper mainly introduces and summarizes the middle school teachers and university teacher about basic inequality different design of teaching contents, compare the similarities and differences, and put forward the principle of found is the focus of the course teaching principle, in other words, found proof principle and thinking is more important than proof principle, principle of multiple variants can be reserved for recitation process after class. Let student comprehension to the principle of nature and to realize its scientific value of mathematical thinking is the true mathematical education. based on “heterogeneous forms for the same subject” between university teachers and middle school teachers, we analysis the different education idea between university teachers and middle school teachers, and then reflect some problems in the middle school mathematics education.

heterogeneous forms for the same subject; basic inequality; education idea; education method

G421

A

1004–9894（2015）06–0040–04