关于M-矩阵最小特征值的几个不等式

李艳艳

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

关于M-矩阵最小特征值的几个不等式

李艳艳

（文山学院 数学学院，云南 文山 663099）

首先给出了不可约M-矩阵最小特征值q（A）界的较易计算的新不等式，其次利用该不等式与柯西-施瓦兹不等式，得到了M-矩阵AC-1的最小特征值q（AC-1）的新的不等式。这些结果是对M-矩阵最小特征值界的估计的有益补充。

M-矩阵；Hadamard积；最小特征值；不等式

1　预备知识

记Cn×n（Rn×n） 表示n×n阶复（实）矩阵集，N= ｛ 1， 2， …， n｝ 表示自然数集。

设A = （aij）∈Rn×n，1）若aij≥ 0，则称A为非负矩阵（A≥ 0）；2）若aij≤ 0，i≠j，则称A为Z矩阵；3）若A为Z矩阵， 且A-1≥ 0（A-1为A的逆矩阵），就称A为非奇异M-矩阵。

矩阵A = （aij），B = （bij）∈Rn×n的Hadamard积为AB = （aijbij）∈Rn×n，矩阵A的r次Hadamard幂为A（r）=为正整数）。

令q（A）=min｛ Re（λ）， λ:∈σ （A）｝ ，σ （A）是Z矩阵A的特征值的集合。

M矩阵A = （aij）分裂为A = DA- CA（DA= diag（a11， a22， …， ann），称JA= DA-1CA为A的迭代矩阵。

M矩阵C = （cij）∈Rn×n的逆矩阵C-1= （ βij）∈Rn×n≥0，分裂为C-1= EC-1- FC-1，EC-1= diag（ β11， β22， …，βnn），称的迭代矩阵。

引理1［1］设a=（a1， a2， …， an）T≥ 0 ，b=（b1， b2， …， bn）T≥ 0 ，则有

引理2［2］设A是不可约M-矩阵，则

2　主要结果

定理1 设A是不可约M-矩阵，则

将以上两方面应用到引理2得

定理2 设A = （aij）∈Rn×n，C = （ cij）∈Rn×n是M-矩阵，则C-1= （ βij）∈Rn×n≥0，且

证明

设U = diag （u1， u2， …， un），V = diag （v1， v2， …， vn），ui， vi＞ 0

W = UV = diag （u1v1， u2v2， …， unvn），则

3　数值算例

［1］ 杜琨.矩阵Hadamard积和Fan积的特征值的界［J］.华东师范大学学报，2008（5）：45-50.

［2］ 章伟，黄廷祝.不可约M-矩阵最小特征值的估计［J］.工程数学学报，2004（6）：31-34.

Some Inequalities on the Minimum Eigenvalue of M- matrix

LI Yanyan
（School of Mathematics， Wenshan University， Wenshan Yunnan 663099， China）

First of all， more easily calculation new inequality of irreducible M- matrix of minimum eigenvalue are given. Next the new inequalities of minimum eigenvalue of M- matrix is obtained through the inequality and cauchy-schwarz inequality. These results are benefi cial to the estimate of the M- matrix minimum eigenvalue bound.

M- matrix； Hadamard product； minimum eigenvalue； inequalities

O151.21

A

1674 - 9200（2015）06 - 0059 - 04

（责任编辑 刘常福）

2015 - 03 - 19

云南省教育厅科研基金项目“几类对角占优矩阵的逆矩范数界的估计”（2013Y585）；文山学院重点学科“数学”建设项目。

李艳艳，文山学院数学学院讲师，硕士。