浅谈类比教学在初等数学教学中的应用

左晓虹 左泽龙

（1.三门峡职业技术学院，河南 三门峡 472000；2.卢氏县徐家湾中学，河南 卢氏 472200）

1 类比教学应用于初等数学教学的必要性

逻辑学中的类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上（这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现）也相同的一种推理。[1]类比推理的结构，可表示如下：A 有属性a、b、c、d，B 有属性a、b、c，所以，B 有属性d。纵观古今中外，我们人类的进步似乎与类比有着密切练习，比如牛顿把苹果和行星进行类比，发现了万有引力；鲁班把树叶与木工的工具相类比，发明了锯子；而光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦·惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等，又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯做出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

类比教学法是初中数学课堂教学中常用的一种教学方法，在教学中通过新旧知识的类比，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质所在，帮助学生找出新旧知识之间的相同点和不同点，从而达到掌握知识的目的。[2]数学中应用类比的教学案例很多，也都是多数教师常用的教学手法。这一方法之所以被广泛接受和应用，必然有其独特的一面，这甚至是无可替代的。针对初级中学的学生，在熟知其认知能力的基础上，这一惯用方法毫无疑问的起到了事半功倍的良好效果。中学生习惯于记忆，并擅长记忆，但是这也会影响着后期的学习能力。类比教学的意义就在于打破常规的“死教死学”模式，从而得到启发学生的目的。作为教师的我们在课堂教学中应该积极主动探寻类比教学方法并付诸于行动。

2 类比教学应用于初等数学教学的可行性

2.1 平面与空间的类比教学

平面与空间的类比对于研究初等几何图形有着极其重要的意义。初等几何含盖了四个方面，即点、线、面、体。每一个层面的学习都关系并影响着其他层面。而类比的方法可以将这几个层面有机地结合起来，从而形成蜘蛛网式的知识体系。平面中的相关推理适用于发展立体几何的研究，而立体几何的理论知识也可以准确检验平面几何，这又相辅相成的促进了平面与空间之间的统一，相得益彰。在日常教学过程中，我们不难发现几乎所有的平面都可以作为推理论证立体几何的基础和工具，反之亦然。

在概念教学中中学生接触平面图形是从三角形、四边形开始的，如果孤立地去理解与记忆这些图形概念，会成为学生学习的一个负担，但从概念的定义形式上看，这一部分概念的定义形式是相似的，通过这些概念之间的类比，进一步理解概念的本质。例如，三角形、四边形、多边形概念分别为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；由在同一平面且不在同一条直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做四边形；由在同一平面且不在同一直线上的多条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做多边形。从概念的定义形式上来看，是对一类图形条件的限制，形式上是一致的，不同之处，一是三角形定义中没有“在同一平面”，二是组成线段条数，其他都是相一致的。通过这样的类比，学生能从一个新的角度与高度对这三个概念进行认识与理解，进一步理解概念的本质。在此概念掌握的基础上，正方体、长方体等等概念掌握起来就容易多了。

在性质教学中，拿立体几何的教学来说，教师可以引导学生思考：圆可类比为球，正方形呢，长方形呢，平行四边形呢，三角形呢，从而使学生自主类比：正方形可类比为正方体，长方形可类比长方体等，教师继续重点引导学生从位置关系和相关数量关系等角度分析正方形和正方体有哪些类似的特征，使学生初步体会从升维的角度该考虑从哪些方面入手寻找两类对象的相似特征，并从三角形的类比对象出发引出例题，在例题寻找类比对象、推测四面体性质和探寻验证方向三个层面的类比过程中，使学生感知类比推理发在现新结论、提供思考和证明问题的思路与方向的作用。再比如在对容器容积和体积探究中，在学生学习了正方体的体积是棱长的三次方，长方体的体积是长宽高之积，圆柱体的体积是地面面积与柱高之积之后，教师进而大胆引导学生推断任何规则的立体图形的体积是其底面积与高的乘积。

2.2 数与形的类比教学

数与形的类比推动着代数的发展，数形结合思想更是解决数学问题的基本方法之一，数形结合其实也是一种类比，在教师讲述函数及其图像的时候都会给学生们或多或少的灌输这一方法，而事实上中学生尤其是初中生的认知能力是有限的，作为老师如何去正确引导很关键。在学习一次函数的时候，好多教师给学生的口诀：“正一三，线上升；负二四，线下降”（一次项系数是正数，则图像呈现上升趋势；一次项系数是负数，则图像呈现下降趋势）；“正正不过四，正负不过二，负正不过三，负负不过一”（当一次项系数是正数，并且常数项是正数的时候，图像不经过第四象限；当一次项系数是正数，常数项是负数的时候，图像不经过第二象限；当一次项系数是负数，常数项是正数的时候，图像不经过第三象限；当一次项系数和常数项均为负数的时候，图像不经过第一象限）。这些口诀就是数与形类比的案例。实践检验证明，这样的类比不仅仅便于记忆，而且出错率很低，有助于学生学习和应试，也有助于提高学生的归类总结能力。而在讲授和探讨二次函数的时候，学生们会以此为借鉴进行独立思考，教师类比一次函数，引导学生将二次函数相关知识轻松掌握。

数与形的类比现象和具备类比条件的实例很多，通过与形的类比推断相关数的性质，也可以通过数的类比得出形的相关性质。例如通过向量、长度等概念的引入赋予所研究对象的几何意义，进而通过几何直观寻求解决问题的方法。例如在讲“勾股定理”时，教师可以结合《几何原本》著作的结论并绘图说明：“在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形的面积之和”。

3 初等数学与其他学科之间的类比教学

类比教学除了单独用于某学科，也可用于学科之间，从而增加了学科之间的紧密联系，提高学生学习文化知识的积极性，并感知学科间的微妙关系。从美学角度讲平面与空间的类比可以达到艺术家们想要的效果，形成艺术品。学生可以通过尝试图形的“神奇”变换产生愉悦心情，进一步促进对于数学学习的热情。

初等数学中的一条三角形定理：三角形的两边之和大于第三边，也即根本不存在一条边大于其他两边之和的三角形。这个数学原理被一位科学家成功地运用到社会科学领域。他认为，历史上如果三个割据势力并存，就形成了三足鼎立，这是一种比较稳定的结构。如果强者侵犯了弱者，被侵犯的弱者就会与另一个弱者联合起来。结盟之后，两边之和大于第三边，稳定的三足结构就不会被破坏。只有当强者的力量超过了两个弱者之和，三国鼎立的局面才会结束。这位科学家利用类比推理表达自己的思想，使抽象的道理具体化，使论述更加形象，收到了良好的表达效果。如果数学老师可以在讲此定理时结合中国历史讲讲三国；历史老师同样可以在讲三国时对比数学的这条定理；政治老师分析当前国际形势时也可拈来此定理作比喻，那课堂一定是愉悦的，学生一定是喜欢的。

正如康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”“类比是获得发现的伟大源泉。”类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性和相似性的推理方式，应用类比，可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。教师通过类比教学，使学生在达到相应教学目标的基础上，能深刻体会到数学是生动的、有趣的，数学的本质并非仅仅是解决问题，更重要的是发现问题。同时让学生逐步培养利用类比的思想处理一些数学问题和生活问题。当然在利用类比的思想去处理一些问题时，我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。

［1］曹为民.类比法在解数学题中的应用[J].赤峰教育学院学报，2001(01).

［2］黄勤新.浅谈类比教学法在初中数学教学中的应用[J].中学教学参考，2012(26).

［3］李长明，周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社，1995.