在实践中学习概率与排列组合

蒋丽

摘 要：在数学教学中，引导学生实践是高效课堂中最重要的环节之一。在教学实践中尝试设计模拟实验，让学生在有趣的课堂活动中更好更快地学习几何概型，在亲身实践中发现其中的原理;另外还运用了角色扮演，让学生在面对抽象的排列组合问题时能够融入角色，在互相讨论中分析并解决问题。这种课堂活动是教学过程中的一点创新尝试，它不仅激发了学生学好数学的热情的积极性，还潜移默化地使学生体会到学习数学的最终目标是活用数学知识解决实际问题。

关键词：几何概型;模拟实验;排列组合;角色扮演

“实践是检验真理的唯一标准。”同样，在高中数学的教学过程中，也需要实践。然而，由于课时紧张，大多数一线老师忙于赶进度，只重视课本理论的教学，轻视一些有助于学生理解知识开发思维的实践活动的开展。我个人认为在时间允许的情况下有必要在课堂上开展一些小型寓教于乐的活动，让学生亲身参与到这些活动中。

一、几何概型的模拟实验

在投硬币问题中，我们既可以直接准备一枚硬币进行大量的重复试验，也可以用随机数表法来模拟试验，旨在用频率估计概率。但是，前者比较费时费力，后者却有易于实现的好处。用模拟方法可以在短时间内完成大量的重复试验。模拟方法尤其在几何概型中应用颇为广泛，这是由几何概型中样本的无穷性和等可能性决定的。下面我以课本上的问题为例，具体说明我的模拟方法。

例1.小明家的晚报在下午5：30～6：30之间的任何一个时刻被随机地送到，小明一家人在下午6：00～7：30之间的任何一个时刻随机地开始晚餐。则晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？

1.仔細审题

先由学生审题，从这两个已知时间段入手，了解这是一个几何概型的问题，可能要用到xOy平面上的面积之比来解题。

2.转换题目

在审题的基础上，为了激发学生的兴趣，我们先不说本题的精确解法，而是将这种解法转换为模拟实验：准备两个等分为60份的转盘，分别代表晚报和晚餐的时间。转动每个转盘若干次，并记录每次转动的结果。由于时间有限，我们用随机数表法来代替转盘法。现在要求全体同学用自己的方法在随机数表中找出10个两位数（样本在00～60之间，不满足要求的数直接删除，找满10个为止），把这10个数按顺序写在纸上。然后让同桌两人一组，右边的学生找的随机数代表晚餐开始时间（例如其中一个数为20，就代表晚餐开始时间为6：20），左边的学生找的随机数代表晚报送来时间（需要进行处理，例如25代表5：55，41代表6：11），把两个人的数据按顺序匹配起来，比对时间的早晚。统计出每一组晚报送来时间比晚餐时间早的个数，并汇总全班的结果，以此来估计晚报在晚餐开始之前送到的概率。

3.解决问题

这时学生开始活动，大家都热火朝天、有条不紊地进行着分工与合作，积极性得到极大的提高。不一会，大家都完成了任务，每个小组把自己的结果上报给所在大组的组长，每个大组的组长又把结果报了上来，经过汇总之后得到所求的频率约为0.870，与精确值0.875非常接近。

接下来我详细地讲解了本题的标准解法，用几何概型的原理，在xOy平面上表示出样本点的定义域G以及满足要求的区域G1，得出所求概率P=

学生兴趣浓厚，专注度在这次活动后得到巨大的提高，仔细认真地听完了这个解法。

4.学生小结

这个活动得到了大家的一致好评，都认为，这个活动活跃了课堂气氛，增强了自己的动手实践能力，使自己快速又深刻地掌握了几何概型的解法的探索过程。不少学生感慨道：实践出真知，以这种方法学到的东西要比传统的方法多得多。

5.老师总结

虽然这是本书的最后一节内容，有很多老师都会因为这不算高考重点环节而直接跳过这个模拟实验，但是我认为这个实验有必要进行。它的好处正如之前学生所说，活跃气氛，增强动手能力，团队合作能力，充分发挥学生的主体地位和主观能动性，有助于学生更深入地掌握本节知识。

二、排列组合中的角色扮演

排列组合作为高中数学课本的一章内容，因为极具抽象性而成为“教”与“学”的难点。有相当一部分题目老师很难用比较清晰简洁的语言讲给学生听，有的即使老师觉得讲清楚了，但是由于学生的认知水平、思维能力在一定程度上受到限制，从而导致学生对题目一知半解，甚至觉得“云里雾里”。下面我将以排列组合中平均分组问题为例说明我在这一部分的教学过程。

例2.6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有几种分法？

1.仔细审题

学生先审题，明确这是一个分组问题，但每一组没有编号，则属于平均分组问题（需要在分组问题的基础上进行消序）。

2.转换题目

在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5、6的学生到前面来，两人一组，共分为3组，问有多少种分法？

3.解决问题

这时我选另一名学生来安排这6位学生分组，班上其他同学也都积极思考，努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，学生有了2种看法：

第一种看法是先安排两个同学到第一组，共有C62=15种分法，再安排两个到第二组，共有C42=6种分法，最后两个直接进入第三组，由乘法原理，共有15×6=90种分法。

第二种看法在第一种的基础上考虑到了组序问题，例如把1、2号放在第一组，3、4号放在第二组，和把1、2号放在第二组，3、4号放在第一组的效果是一样的，需要消去组序，在之前算出结果的基础上除以3的全排，即90÷3！=15

经过激烈的讨论之后，大家一致认为第二种思路考虑得更加周到，把第二个结果作为本题的答案。

4.老师总结

平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以n！（n为均分的组数）避免重复计数。