浅谈高中平面几何中的对称问题

彭国富

摘 要：高中数学教材中涉及平面几何的基本定理和知识点，如勾股定理、正弦定理等等。从高中平面几何中的对称问题进行简要探析。以期找到促进高中平面几何教学质量不断提升的有效策略。

关键词：高中数学；平面几何；对称问题；教学策略

在定义上平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度、位置关系）。

高中平面几何中的对称主要是线关于线的对称，线关于点的对称，点关于点和线对称。点关于点成中心对称的对称中心，恰是以这两点为端点的线段的中点，故其中点关于点的对称问题主要考查的是线段中点坐标公式的应用。

例.已知点M（4，6），在直线l：x-3y+3=0和y轴上各找P，Q，使三角形MPQ的周长最小。

剖析：要使三角形的周长最小即三边长度最小，如上图，作点M关于直线的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连接M1、M2，与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识可知这样得到的△MPQ的周长最小。

点关于线的对称问题是点关于直线成轴对称的问题，从轴对称定义中可知对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”。故可利用“垂直、平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标。例如，求直线a：x+2y-4=0关于直线l：2x+5y-2=0对称的直线b的方程。剖析：直线a、b关于直线l对称，则直线b上一点定可在直线a上找到关于直线l的对称点，故可在直线a上任取两点M、N，再根據点关于线的对称可求得M，N关于直线l的对称点m，n。且点m、n在直线b上。两点确定一条直线，因此可求得直线b的方程。

线是由点组成的，故线关于线对称轴对称问题是点关于线问题的升级。在已知的直线上取两点作为已知点，再求已知两点关于直线的对称点，最后将求得的两点连接就是所求的对称直线。线关于点的对称亦可用同种方法去解决，已知直线两点作为已知点，再做已知两点关于点的对称点，连接求得的两点就是所求直线关于点的对称点。

高中平面几何中涉及的对称课题实际可转化为点关于线和点的对称问题，学生只要多做训练即可熟练掌握。

参考文献：

[1]张根福.平面解析几何在测量中的应用实例[J].科技资讯，2011（19）.

[2]马士辉.高中数学教材编写之我见：平面解析几何中几个值得商榷的问题[J].语数外学习：数学教育，2013（11）.

编辑 李建军