浅谈相辅相成的数学知识与解题能力

刘会宾

高考复习已进入冲刺阶段，如何在短暂的时间内迅速扭转局面，最大限度地提高学生的应试水平呢？我认为还是应该按照考试大纲的要求，根据“基础知识与能力并重”的原则，以“能力立意”为指导思想，复习中始终将知识、能力与素质融为一体通盘考虑，全面提升学生的数学素质。

为什么要知识、能力与素质融为一体通盘考虑呢？我们可以考察一下它们的关系。

首先，数学知识与解题能力是“手心手背”的关系。解题能力决定了一个人掌握数学知识的速度与质量;数学知识则为解题能力奠定基础，“无知者无能”，没有数学知识就不可能有解题能力。

认知心理学的研究表明，一个人不能“数学地”思考和解决问题的主要原因是缺乏必要的数学知识，“隔行如隔山”就是这个道理。

数学概念形成的能力、思维和语言表达的能力要在数学知识学习中有意识地培养，正是由于已掌握的数学知识的广泛迁移，个体才能形成系统化、概括化的数学认知结构，从而形成解题能力。

反观高三数学复习，问题首先在基础不落实上，由此也导致了数学能力和素质的低水平徘徊。例如，在“基本不等式”的复习中，除了反复强调“一正二定三相等”外，主要精力集中于变形技巧训练。但学生面临新问题时，不仅仍然不顾“正”“定”“相等”的要求，有的甚至根本想不到用基本不等式。究其原因，还是教师没有抓住基本不等式的结构特征这一核心进行教学。实际上，基本不等式表明了正数a，b的和与积的大小关系，有固定的形式结构。变形的技巧无穷，但都是为了转化为这一形式结构;而用基本不等式求最大（小）值时，首先应看是否具有“和”或“积”为常数的条件（“和”或“积”为常数是使用基本不等式的信号）。

我想，抓住这一根本，再精选若干典型问题训练学生的思考习惯，就可实现举一反三。

其次，数学知识和解题能力是数学素质的基本要素。数学素质诉诸于实践就表现为解题能力，离开解题能力，数学素质就无从表现、观察、确证和把握。在数学活动中体现的数学素质对数学知识有极大的依赖关系，数学知识在人的整体素质中也居于不可替代的基础地位。

个体数学素质的高低，取决于他占有的数学知识的广度与深度，正是在数学知识的学习和使用中，学生才建构了自己的数学认知结构及“数学地”思考和行为的习惯。

数学问题是数学的核心，学数学就意味着解题，但数学问题千变万化，无穷无尽，“题海”茫茫。要使学生身临题海而得心应手，身居考室而处之泰然，就必须培养他们的解题能力。教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题，不断提高学生的数学解题能力是一件不容易的事。任教以来，在培养和提高学生解题能力方面，我经常进行如下一些做法，收效很好。

一、教会学生审题

审题是成功的完成一道数学题的关键性的一步。审题的具体任务，就是通过题目的思考和分析，了解命题者的意图，弄清题目所考查的知识范围，明确解题的方法，从而正确的解出题目。在平时教学中，我经常采用如下审题方法。

“一审”，也就是第一遍审题。作为第一遍审题因题而论，对于题目自身比较简单的题目，完全可以找到题目的解决方法。而对于比较难的题目我们就要静下心来仔细审题了。有很多学生一看到难题就担心害怕。害怕的原因有这几个：

1.这部分知识本身就是学生学习的难点，知识体系难度较大。

2.这种题目比较长，读起来像读作文一样，读完一遍还不知什么意思。

3.这部分题目涉及的知识面比较广，基础差的同学无从下手。

遇到这样的题目先要从心理上战胜自己，不怕不会，不怕麻烦，静下心认真阅读，步步攻克。

二、让学生养成解题后“回头看”的习惯

提高解题能力取决于提高解题的质量。那么，如何提高解题的质量呢？我认为一种极其有效的途径就是养成解题后“回头看”的习惯。看看解题结论是否正确合理、严密完善;看看本题有无其他解法，多种解法中哪种最简捷;再看看原题的解法和结论能否进一步推广，并探索出一般规律，如此等等，这对于提高解题能力有极大的帮助。但是，不少同学未能养成这样的习惯，因而解题能力和思维品质未能得到有效的提高和升华。

因此，在平时讲解题目时，我都有意识地进行“回头看”， 及时进行反思总结，反思总结解题过程的来龙去脉、题与题间的联系，有何规律可循;反思总结题还有无其他解法，养成多角度多方位的思维习惯;反思总结做错题的原因，是知识掌握不准确、解题方法不正确，还是审题不清、计算错误。

通过对解题过程的“回关看”，將知识横向、纵向联系，使知识网络化。通过以点带线，以线带面的知识间的联系，使知识结论立体化，这样有助于理解、掌握和运用，从而达到深化基础，完善知识结构的目的。

三、运用变式训练，拓展习题外延

在复习过程中，我常常发现一些学生的思维表现较为狭窄，只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。因此，反复进行拓展、变式训练，可帮助学生克服思维狭窄性。习题要创新、要善变，通过原题目延伸出更多具有相关性的新问题，产生一个个既相似又有区别的问题。在变中求进，进中求通，探索问题的本质属性。

通过变式训练，将知识一环套一环，使学生对概念、定理的本质有更加清晰的认识，实现“以少胜多”的目标。

四、学生编写“错题集”

每位学生都准备一本“错题集”，每天将做错的习题记录下来，一要记录错误的地方，二要写出错误原因，三要写出正确答案。对错误的、没弄清楚的题目要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，经常在易错的地方拿出来强化，作适当的重复性练习。

编写“错题集”的目的是诱导学生暴露他们原有的思维方法和过程，利用它来反思自己学习中存在的问题，这样日积月累的一本“错题集”就是学生学习的“兵法”，在后续的学习中就可以做到有的放矢，对症下药，而且编写“错题集”的过程可以提高学生的思维能力，调动其学习的积极性。在中学数学教学中，我们的任务不仅仅是传授数学知识，培养学生的思维能力也应是教学活动至关重要的一部分，而诱导学生暴露其原有的思维过程，对于突破学生的数学思维障碍会起到极其重要的作用。

总之，学生解题能力的提高，不是一朝一夕能做到的，也不是仅靠教师的潜移默化和学生的自觉行动就能做好的，需要教师根据教学实际，坚持有目的、有计划地进行培养和训练。只有这样，才能真正把这一工作做好。