求解分数阶微分方程的一种新矩阵算子

刘丽静

摘 要：近年来，分数阶微积分在建立物理模型和工程计算中得到广泛应用，由于大多数分数阶微分方程式不存在解析解的，对于分数阶微分方程的求解数值解就显得尤为重要。本文在Caputo分数阶微分定义下，利用切比雪夫多项式给出了求解一类分数阶微分方程的矩阵算子，将求解分数阶微分方程初值问题化为代数方程求解，并将新矩阵算子应用在线性分数阶微分方程中，数值算例说明了本矩阵算子的有效性和可行性。

关键词：分数阶微分方程；矩阵算子；切比雪夫多项式；Caputo导数

1 引言

分数阶微积分与整数阶微积分有着同样悠久的历史，它的建立至今已有300多年的历史。近几年，许多研究者发现：非整数阶的微积分也可以在众多现实领域中得以应用，而且它们比整数阶微积分能更精确地体现物体的性质，例如：沾滞系统、介质极化、电极-电解液极化、管道边界层效应、有色噪声和电磁波等，从而使得分数阶微分方程拥有了实际的应用背景，并且人们也发现在分析各类物质材料的记忆遗传性、经济学中，分数阶微分都成为一种有效的工具，发挥了无法比拟的作用，从而分数阶算子理论和应用研究在国际上才得到迅速发展[1]，因此，开展分数阶微分方程数值方法的研究具有重要的理论意义和实用价值。

2 预备知识

2.1 Caputo的分数导数的定义

2.2微分方程的切比雪夫矩阵算子

2.2.1 整数阶微分方程的切比雪夫矩阵算子

该方法得到的解与精确解相同，说明此法可应用于求解线性微分方程。

4 结论

由于分数阶微分方程对所描述问题具有的记忆性，使得对分数阶微分方程研究成为研究的热点问题。本文正是在这种背景之下，给出了一种普遍适用的切比雪夫分数阶微分的矩阵算子，数值算例表明了该矩阵算子对求解线性分数阶微分方程是可行且有效的。另外值得一提的是本文提出的矩阵算子有利于计算机实现，为编写工程计算软件提供了理论支持。

参考文献

[1] 谭粞智， 林晓然， 周尚波. 几种分数阶微分数值解法的比较研究[J]. 计算机仿真，2011， 28（5）.

[2] 刘建军. 求解分数阶微分方程问题的几类数值方法[D]. 湖南：湘潭大学， 2007.

[3] 刘建. 分数阶微分方程的基本理论及应用[D]. 上海： 东华大学， 2010.

[4] 马晓丹. 分数阶微分方程的数值解[D]. 上海：中国石油大学， 2008.