一类具非零初值Duffing方程的近似解

韦桂荣，韦玉程

(1.长乐中学，广西 东兰 547406;2.河池学院 数学与统计学院，广西 宜州 546300)

0 引言

微分方程作为数学工具对自然现象的描述是十分有效的，但大量的微分方程并不存在解析解，因此寻求微分方程的近似解或数值解是很自然的想法。摄动方法是求微分方程近似解的有效途径之一。从20世纪开始，随着摄动法理论的不断发展和完善，特别是20世纪50年代以来的迅速发展，摄动方法被广泛应用于众多领域的科学研究之中。

摄动法源于19世纪Poisson在研究天体运动地球所受的引力时，首次使用微分方程的形式来表示为:

其中，X=(x1，x2，…，xn)，A0，A1，A2，…是 X 的函数;A0表示太阳对地球的引力，εiAi为其它行星对地球的引力，是微小扰动项。Poisson假设方程(1)有如下的幂级数解

将(2)代入(1)，令方程两边ε的同次幂系数相等，从而得到一系列的关于X0，X1(t)，X2(t)，…的微分方程，通过解微分方程得到(1)的近似解。摄动方法可分为正则摄动和奇异摄动两类。奇异摄动源于在使用正则摄动时方程解的幂级数展开式的非一致有效性。其主要表现为使用正则摄动时，方程出现长期项，或展开式在某部分边界不满足边界条件，或者方程有转向等等原因时都使正则摄动法失效。当下，奇异摄动问题的研究已发展为控制理论的一个重要分支，因此引起了各界学者、众多专家对奇异摄动的研究。现行奇异摄动常用的主要方法有伸缩坐标法、匹配渐近展开法、复合展开法、参数变易法、平均法、多重尺度法等。多重尺度法是20世纪50年代后期发展起来的一种求近似解的奇异摄动方法。

Duffing方程是非线性振动系统中的一类典型方程，工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究。Duffing方程虽然形式简单，但它具有丰富的动力学现象，作为一个具有代表性的非线性动力学方程，在非线性振动理论研究中具有重要的意义。然而，从它提出(1918年)到现在已经近百年了，人们对它的解的性质仍未完全清楚。其共振和非共振的周期轨道、概周期解等问题存在性的研究主要参见文献[1－6]及引用文献。然而，工程上更需要的是其数值解或近似解，包括分析法、数值法、图解法、实验方法和两变量展开法等，这方面可参见[7－11]及引用文献。按照摄动方法，完整的问题的解是用一个摄动展开式的前面几项(一般是前面两项来表示的)，尽管这种展开式可能是发散的，但是作为解得一个定性的以及定量的表示，它们可以比一致并收敛的展开式更有用。本文采用两变量展开法来展开一类非零初值的非线性Duffing方程。对原方程的变量做适当的变换，引进快慢两种不同尺度的时间变量，将单变量转成两个变量的二阶非线性初值问题，使用渐近展开式，比较对应项系数，得出展开式前几项的系数满足的方程，通过解微分方程得到所给问题的近似解的一般表达式。

1 主要结果及证明

下面是本文的主要结果及证明。

定理:考虑一类具非0初值的Duffing方程

其中ε是小参数。则求此方程具有如下形式的一阶近似解:

定理证明:设方程(3)具有如下形式的幂级数解:

在这里，我们做变换如下:

其中ωi是常数。在(5)式中没有εω1这一项，因为εt已经含在ξ中了。这种变换，相当引入了ξ比η慢的两个不同时间变量。首先，对ξ、η求关于t的一阶导得

对u(ξ，η)求关于t的二阶导得

对于εu3项，考虑取近似如下

把(4)、(6)、(7)式代入方程(3)，整理得

因为当 t=0时，ξ=0，η =0，于是由

得到

同理，由 u′(0)=1，可得

比较(8)式ε的各次幂的系数得到

解方程(9)得

其中:A0(0)=B0(0)=1。于是

及

对于项 －u30(ξ，η)，使用公式，计算得:

将(13)、(14)式代入(10)式，得

联立方程(16)与(17)，解此方程组并注意到初值条件，得

将(18)式分别代入(16)、(17)式，并对ξ分别求导得

考虑到(16)、(17)及(18)式，得

解齐次线性方程(21)、(22)，得

由初值条件上面两式各确定了一个常数C1=C3=1。然而，这两个等式中仍然各含一个常数C2，C4，为计算方便，我们可取常数分别为C2=1，C4=－1。于是得

把(23)、(24)式代入(12)式，得渐近解的首项为

方程(15)在消去长期项后变为

解非线性方程(26)，得其通解为

注意到(23)、(24)式，有

同理，

把(28)、(29)式代入(27)式，得到

注意到

于是

从而

同样的有

另一方面，

进而得

化简 －3u20(ξ，η)u1(ξ，η)得到

把(33)、(34)、(35)、(36)式代入(11)式，得

(37)式中NST是不会产生长期项的项，为消去长期项，令

由于

解得

于是

把(39)、(40)式代入(31)式得，从而

因此，uε(ξ，η)的两项展开式为

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