初中方程是集式、变形与数学思想于一体

王钦林

【摘 要】方程的定义为含有未知数的等式。在初中阶段，主要的学习任务是概念、解法、列方程解决问题；在中考考试说明中指出，方程既属于“双基”考查范围，又属于数学应用能力考查范围。因此，本文从方程的概念、构建、应用等方面进行阐述，解开学生思维中的疑惑。

【关键词】初中方程 代数式 恒等变形 数量关系 建模

希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的1/7；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是，儿子只活了他父亲全部生命的一半；儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了四年，也与世长辞了。”丢番图是第一位懂得使用符号代表数来研究问题的人。方程漫长的探索之路，值得我们去领会它的价值与意义。方程的定义为含有未知数的等式。

初中数学教材内容安排中，从“字母可以表示数”入门，到认识方程，又到列方程解应用题。因此，方程是集初中代数式运算、等价变形，又集实际问题转化为数学问题的建模思想于一体的重要数学符号之一。

一、初中方程的有关概念

北师大版数学教科书中依序定义了：一元一次方程、分式方程、一元二次方程。

初中方程按代数式可以划分为两类：一类是整式方程，一类是分式方程。整式方程又分为一元一次方程与一元二次方程。以上各类方程，满足等式两边成立的未知数的值叫作此方程的解。

二、初中方程的构建

（一）怎样认识方程

北师大版教材中的引例问题：七年级，“小颖种了一株树苗……如果设x周后树苗高到1米，那么可以得到方程为 。”八年级，“有两块面积相同的小麦试验田……如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公顷的产量是 kg。根据题意，可得方程为 。”九年级，“一块四周镶有宽度相等的花边的地毯……如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为___m，宽为 m。根据题意，可得方程为 。”

从上述各阶段实例可以看出具有下面几个特点：

第一，实例中均设明未知数，引导学生构建方程解决问题的思路，目的是让学生逐渐形成解答数学问题列方程的理念；

第二，实例立足于学生较为熟悉，或是适合年龄阶段的问题；

第三，每阶段都有举一反三的实例，由感性认识逐步上升到理性认识，注重归纳分析的方法，使学生主动归结出方程的特点，达到认识方程的目的。

所以，方程概念认知过程中，必须符合学生思维发展的特点，循序渐进地把方程思想渗透到学生的认识过程中。

（二）如何解方程

解方程的方法虽存在差异，但归根结底均遵循恒等变形转化法。首先，利用等式的基本性质形成了解一元一次方程的方法，其经过一系列恒等变形的过程，形成解方程的一般步骤，可简述为“去分母，去括号，移项合并同类项，把未知数系数化为1”，最终把原方程化为形如“x=a”的最简形式；其次，去分母，把分式方程恒等变形为整式方程，注意检验；最后，解一元二次方程的方法并不单一，诸如，有配方法，利用开方运算转化，还有分解因式转化，甚至从配方法中提炼出公式法。

解方程的过程体现出学生数学运算习惯的个体差异，各学段表现出的问题屡见不鲜。如，在移项过程中，常出现移项忘记变号；在去括号、去分母过程中，常有分配不完全等的问题。学生的“忘性”常被视为技能高低的标准。

在这些问题面前，需要教师正视学生的问题，允许学生犯错，并且引导学生建立正确的代数式运算，矫正认知，树立运算的信心。只有养成良好的运算习惯，才能提高代数式的应用能力，构建恒等变形思维。所以，开展有效的帮扶计划才是构建解方程方法的必要教学手段。

（三）指导列方程的措施

列方程的核心是准确领会数量关系。也可以用这样一个模式表示列方程思路的核心，即：数量关系→列方程。其中，数量关系包含大小关系与变量关系，方程是依据问题的数量关系构建出一个相等关系而形成的。

一般，列方程过程中，设未知数是前提，列代数式是基础，寻找合适的相等关系是关键，列代数式与找相等关系均依据问题中的数量关系。例如，两个人年龄之间的关系是大小关系，长方形的面积公式是变量关系。然而，实例问题又多是文字题，学生难免出现读题的排斥情绪。针对此类现象，有如下行之有效的措施：

（1）培养学生的读题习惯。不论问题的难易程度，都要要求学生准确无误读下来，切勿丢字或添字。

（2）培养学生的良好数学素质，养成不断探究问题的精神。例如，问题式教学法是一种有效的培养措施，把问题设计成若干小问题，满足不同学生的需求。

（3）因地制宜的原则，不同水平的学生完成不同难度的训练题，逐步提高他们各自应用方程的能力。

三、初中方程的应用建模意见

列方程解决的问题有序可循，具有连续性、递升性的特点，主要体现在数列、总数与个数、图形数量、商品经济的数量、行程问题，还有与生活密切的数量关系，如车费、水费、比赛等等。

众所周知，在教学中，我们习惯于这样一个总结：审、设、列、解、答，有时需检验。虽然这样几个关键词起到了一定的引导，但还是缺少考虑学生个体的差异。所以，本文有一些拙见：

（1）鼓励学生大胆使用“未知数”，引导学生认识到设明未知数是化繁为简的解法，未知数字母可使模糊的数量变得明了，能够直接使用；

（2）用我们的经验诱导学生，使他们具有辨明问题情境的意识，培养分类归纳题型的学习方式，阻止教条东西的产生；

（3）启发或点明大小关系与变量关系的区别，前者是相同意义的数量，后者是不同意义的数量，避免混淆乱用；

（4）有意培养学生的反思意识，检验未知数的值是否合理。

数学，源自于生活，只有通过合理的教学方式让学生感受到身边的方程，学生才会觉得它的存在与价值。因此，实例题要适度、适量，还要注重解题思维的创新性。

最后，我们共同用方程解决这位伟大数学家的年龄，假设他的年龄为x岁，那么根据墓志铭可列出一元一次方程，解方程得x=84。所以，享年84岁。他没有留给我们多么深奥的问题，他留给我们一种解决问题的数学方法，这就是方程思想。