四电平互补序列的研究

张娇蓉，李忠玉（西华大学计算机与软件工程学院，成都　610039）

四电平互补序列的研究

张娇蓉，李忠玉
（西华大学计算机与软件工程学院，成都610039）

0　引言

互补序列具有理想的自相关和互相关特性，与以往通信系统中普遍使用的单个序列不同，互补序列由若干个子序列构成。在理论上，若通信系统中应用互补序列是可以完全消除其多址干扰和多径干扰。因此，互补序列成为学者们研究的热点。1961年，Golay［1］第一次提出了互补序列的概念并介绍了它的一些数学特性，后来的一些学者对二进制非周期互补序列对的定义、性质以及构造方法做了深入的研究，并将互补序列用于雷达、同步、信道估计，信号检测等领域。后来对互补序列的研究方向也逐渐由二进制扩展到多相，非周期互补扩展到周期互补，序列对扩展到序列集上。1988年，Darnell［2］提出了多电平非周期互补集的概念并给出其构造方法。1990年，Budisin［3］介绍了非周期多电平互补对的构造方法，并将其应用在雷达脉冲压缩技术和噪声生成中。虽然有很多学者对多电平的互补集、互补对做了深刻的研究，但这些对多电平的研究都是在比较大的大字符集上。现实中，在小字符集上研究多电平序列更有实用价值。2010年，李旭东［4］就在小字符集上对四电平Z互补序列做了深入的研究。本文研究的重点也是小字符集上的四电平互补序列。

1　定义

四电平序列是指序列的元素取自于四个字符组成的字符集。本文研究的四电平序列是特指在字符集｛± 1，±2｝上定义的序列。

定义1令a=（a0，a1，…，aN-1）和b=（b0，b1，…，bN-1）是周期为N的序列，他们的周期互相关函数被定义为以下形式：

其中b*n+τ表示bn+τ的共轭。当a=b时，上式表示序列a的周期自相关函数，数学表示如下：

定义2令a和b是周期为N的序列，他们的非周期互相关函数被定义为以下形式：

当a=b时，上式表示序列a的非周期自相关函数，数学表示如下：

定义3令序列集a=（a1，a2，…，ap）的序列数目为P，每个序列长度为N且序列元素的取值是在字符集｛± 1，±2｝的四电平序列，若满足：

其中E为正整数，则序列集a就是周期四电平互补集。当P=2时，则a就是周期四电平互补对。

定义4令序列集a的序列数目为P，每个序列长度为N且序列元素的取值是在字符集｛±1，±2｝的四电平序列，若满足：

则序列集a就是非周期四电平互补集。当P=2时，则a就是非周期四电平互补对。

2　四电平互补序列的变换

在序列设计中，如果一个序列经过一定的变换得到的新序列的相关函数和变换前序列的相关函数保持一致，那么这种变换就叫做序列的初等变换。

初等变换方法一：

经实验证明，二进制互补序列对的某些初等变换也同样适用于四电平互补对。

令（S1，S2）是一对长度均为N的四电平互补序列。通过如下的变换仍然是四电平互补序列。

（1）交换操作：（S1，S2）→（S2，S1）；

（2）倒序操作：（S1，S2）→（1，S2）；

（3）S1和S2奇数位置上的元素取负，偶数位置上的元素不变。

初等变换方法二：

设a=（a0，a1，…，aN-1）是长度为N的四电平序列。经过如下的变换得到的序列的非周期自相关函数函数和原来的保持一致，

其中，当a=（a0，a1，…，aN-1）的元素仅取于｛±1｝时，c可取于｛-1，±2｝；当a的元素仅取于｛±2｝时，c可取于｛-1，±1/2｝。

3　例子

设a=（1，1，-1，-2），b=（1，2，-1，2），进过计算得到

Ca（τ）+Cb（τ）=（17，0，0，0）

Ra（τ）+Rb（τ）=（17，0，0，0）

其中0≤τ≤3。

将序列a中的元素倒置，变为序列 a=（-2，-1，1，1），计算得到

将序列a和b中的奇数元素取负，偶数元素不变，得到新的序列a*=（-1，1，1，-2），b*=（-1，2，1，2）。计算得到：

Ca*（τ）+Cb*（τ）=（17，0，0，0）

Ra*（τ）+Rb*（τ）=（17，0，0，0）

设a=（1，-1，1，2，-2）是一个四电平序列，其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。将a的元素进行倒置，得到序列=（-2，2，1，-1，1），其Ca（τ）=（11，-4，-3，4，-2）。

经过实验，在2≤N≤9这一区间里，四电平非周期互补序列只存在于N=2，4，8中，周期互补序列的代表在表1中给出。

表1　周期四电平互补对的代表及其相关函数

4　结语

本文重点介绍了四电平互补序列，对其通过变换得到的新的序列的性质进行了讨论并举例证明，这些变换的方法对于构造长度更长的四电平互补序列对以及构造四电平互补序列集有着重要作用，最后给出了通过程序搜索的四电平周期互补序列对的代表。

［1］M.J.E.Golay.Complementary Series.IEEE Transactions on Information Theory，1961，7（2）：82～87

［2］M.Darnell，A.H.Kemp.Synthesis of Multilevel Complementary Sequences，Electronic Letters，1988，24，9：1251～1252

［3］S.Z.Budisin，New Multilevel Complementary Pairs of Sequences，Electronic Letters，1990，26，13：881～883

［4］L.Xudong，L.Hao，Synthesis of Four-Level Z-Complementary Sequences，2010 3rd International Congress on Image and Signal Processing（CISP），Yantai，China，2010，10：.4463～4466

［5］李玉博，许成谦，李刚，刘凯.四元零相关区周期互补序列集构造法［J］.电子与信息学报，2013，09（35）：2180～2186

Sequence Design；Four-Level Sequence；Periodic Complementary；Aperiodic Complementary

Research on the Four-Level Complementary Sequence

ZHANG Jiao-rong，LI Zhong-yu
（School of Computer Software Engineering，Xihua University，Chengdu 610039）

1007-1423（2015）10-0003-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.10.001

张娇蓉（1988-），女，四川巴中人，硕士研究生，研究方向为序列设计

2015-03-26

2015-04-01

以前对多电平的研究多集中在大字符集上，考虑到小字符集上的多电平序列的应用价值，重点研究四电平互补序列，其所指的四电平序列是指序列元素的取值来自于字符集｛1，-1，2，-2｝。

序列设计；四电平序列；周期互补；非周期互补

李忠玉（1990-），男，四川成都人，硕士研究生，研究方向为嵌入式系统

Previous research on multilevel more focuses on large character set.Considering the application of multilevel sequence based on the small character set is more useful，the research emphasis is four-level complementary sequences.And the elements of four-level sequence refers to the alphabet｛1，-1，2，-2｝.