JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线的拟合实证

赵前程

（1.东北财经大学 数学与数量经济学院，辽宁 大连 116025；2.大连海洋大学 经济管理学院，辽宁 大连 116023）

JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线的拟合实证

赵前程1，2

（1.东北财经大学 数学与数量经济学院，辽宁 大连 116025；
2.大连海洋大学 经济管理学院，辽宁 大连 116023）

利率期限结构是指债券的到期收益率与到期期限之间的关系，该结构可以通过利率期限结构图表示，图中的曲线即为收益率曲线。本文利用JSZ模型对我国债券市场利率期限结构模型进行估计，拟合效果好，而且运算速度比卡尔曼滤波更快。本文旨在提炼出JSZ模型的精华内容并阐述其计算的逻辑过程，并用于拟合我国银行间固定利率债券，使研究利率期限结构学者能快速掌握JSZ模型的核心思想及其应用。

JSZ模型；利率期限结构；卡尔曼滤波

对高斯动态期限结构模型（GDTSM）的估计大多采用卡尔曼滤波方法，这种方法的最大问题是模型中的变量太多，如果初始值设置的不好，模型不易收敛，或因计算过程中矩阵出现奇异矩阵，造成运算无法继续运行或结果不准确。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J.Singleton、HaoxiangZhu（2011）提出，用于利率期限结构模型的估计。但JSZ（2011）文章内容较多，晦涩难懂，笔者下面的内容旨在提炼出JSZ模型的精华内容及其在我国债券收益率曲线拟合过程中的应用，相应的文献综述和证明过程请参考JSZ（2011）原文。

1　JSZ模型的核心

JSZ模型描述如下：

Xt是定价因子，∑x∑x′是Xt的条件协方差矩阵，εtP，εtQ～N（0，IN）。

对于0息票债券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan（1996）仿射函数，表示成：

Am，Bm满足Riccati差分方程：

（1）、（2）、（3）、（4）是JSZ模型的规范化形式，为了便于计算，在命题1中JSZ给出其规范形式的等价形式：

任何规范的GDTMS观测上等价于下面形式：

与标准的规范形式不同之处是：t是单位1向量，∑X是下三角矩阵，是按顺序排列的约当型（Jordan）矩阵。

各个约当块是按特征值的顺序排列（从大到小）。

这种等价形式简化了运算过程，而且便于计算机的处理，但定价因子Xt仍然是不可观测变量，因此，JSZ给出定理1，存在可观测的定价因子Ft=Wyt，任何规范的GDTMS等价于下面的模型：

在此模型里，定价因子可以用可观测变量代替，假设名为Ft，这样不可观测的定价因子Xt变为可观测的定价因子Ft，可以假定N个0息票债券或其线性组合可以被模型精确定价；Ft的Q分布可以描述成参数：

综上所述，JSZ模型设置了2个测度P和Q，2种定价因子，可观测的P和不可观测的X，因此模型显得复杂，但运算并不复杂，JSZ对似然函数的处理进一步简化了估计难度。P测度下可观测的收益率的条件似然函数为：

这样，参数而JSZ模型只有前4个参数，存在实质性的改进。

2　JSZ模型对我国国债利率期限结构的实证

这里选取银行间固定利率国债收益率数据，时间是从2006 年3月到2014年2月，取每月最后一天的数据，期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共计96个月度数据，数据来源是wind数据库。数据的基本情况如图1所示。

图1银行间固定利率国债收益率数据基本情况图

为了利用Matlab软件编程，将式（6）到式（11）描述成计算机可以处理的形式：

在P测度下：

F（t+1）-F（t）=K0P_F+K1P_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

在风险中性Q测度下：

X（t+1）-X（t）=K0Q_X+K1Q_X*X（t）+eps_X（t+1）

其中：Cov（eps_X（t+1））=Sigma_X

F（t+1）-F（t）=K0Q_F+K1Q_F*X（t）+eps_F（t+1）

其中：Cov（eps_F（t+1））=Sigma_F

式（4）描述成计算机处理形式为：

模型收益率Yt=AF’+BF’*F（t）或：Yt＝AX’＋BX’*X（t）

利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱，对模型的各参数进行估计，结果如下：

AF=［-0.076 9 0.075 8 0.101 1-0.026 3-0.190 7-0.0831 0.217 7］

BF=［0.458 30.459 00.435 80.399 90.328 70.273 5 0.216 7-0.4501-0.336 5-0.106 50.091 40.357 50.488 3 0.548 3-0.630 4-0.019 5 0.471 0 0.485 80.139 0-0.183 7 -0.441 0］

AX=［0.747 21.546 22.821 03.716 04.809 25.399 5 5.688 2］

BX=［0.975 50.947 10.893 70.844 30.756 10.680 4 0.585 80.873 10.748 30.565 00.441 60.294 90.216 2 0.152 50.869 80.742 50.556 90.433 20.287 80.210 5 0.148 4］

K0P_F=［-0.108 6 0.224 8-0.286 7］

K1P_F=［-0.050 00.182 40.001 8-0.013 1-0.129 3 -0.431 9 0.001 7-0.003 4-0.467 9］

K0Q_F=［0.274 1 0.122 7-0.050 3］

K1Q_F=［-0.005 10.075 80.285 0-0.006 8-0.008 4 -0.191 0-0.003 8 0.005 6-0.107 1］

K0Q_X=［0.315 0 0.000 0 0.000 0］

K1Q_X=［-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0-0.054 6

0.0000 0.000 0 0.000 0-0.056 1］

下面对比模型的拟合值和实际值，如图2所示。

图2 JSZ模型计算的收益率数值与实际值比较

图2中黑色实线表示实际值，红色实线（如果无颜色，则是较淡的曲线）表示模型求得的拟合值，如果不放大图，二者几乎重合，说明JSZ模型非常好地拟合收益率曲线数据。

3　结论

JSZ模型可以很好地拟合我国银行间国债收益率曲线，而且收敛的速度比用卡尔曼滤波技术快得多，几秒完成运算。使用卡尔曼滤波需要设置初始值较多，如果设置不好，收敛的速度会非常慢，甚至不收敛，而JSZ模型无此问题。JSZ模型的另一个优点是需要估计的参数少，三因子模型只有4个，利用卡尔曼滤波需要估计22个参数。JSZ模型本身也非常灵活，感兴趣学者可以在此基础上加入宏观经济变量，来分析利率期限结构与宏观经济之间的关系。

主要参考文献

［1］D Duffie，R Kan.A Yield-factor Model of Interest Rates［J］.MathematicalFinance，1996（6）：379-406.

［2］S Joslin，K Singleton，H Zhu.A New Perspective on Gaussian DTSMs［J］.The Review of Financial Studies，2011，24（3）：926－970.

［3］S Joslin.Pricing and Hedging Volatility in Fixed Income Markets［R］.Working Paper，MIT，2007.

［4］S Joslin，A Le，K Singleton.The Conditional Distribution of Bond Yields Implied by GaussianMacro－finance Term Structure Models［R］.Working Paper，Sloan School，MIT，2010.

［5］S Joslin，M Priebsch，K Singleton.Risk Premiums in Dynamic Term Structure Models with UnspannedMacro Risks［R］.Working Paper，Stanford University，2010.

［6］S Joslin，K Singleton，H Zhu.Supplement to“A New Perspective on Gaussian DTSMs.”［R］.WorkingPaper，Sloan School，MIT，2010.

［7］李宏瑾.市场预期、利率期限结构与间接货币政策转型［M］.北京：经济管理出版社，2013.

［8］周荣喜，杨丰梅.利率期限结构模型：理论与实证［M］.北京：科学出版社，2011.

10.3969/j.issn.1673-0194.2015.17.061

F812.5

A

1673-0194（2015）17-0115-03

2015-07-16