关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)

苟莎莎(西南大学数学与统计学院，重庆400715)

关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)

苟莎莎
(西南大学数学与统计学院，重庆400715)

运用递归序列和平方剩余的方法，证明了不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2) (y+3)仅有正整数解(x，y)=(4，3).

不定方程;整数解;递归序列;平方剩余

当(p，q)=1，p，q∈N时，形如px(x+1)(x+2)(x+3)=qy(y+1)(y+2)(y+3)的不定方程已经有不少研究工作［1-11］.1971年，Cohn［1］证明了(p，q)=(1，2)时，仅有正整数解(x，y)=(5，4);1975年，Ponnudurait［2］证明了(p，q)=(1，3)时，仅有正整数解(x，y)=(3，2)，(7，5);1982年，宣体佐［3］证明了(p，q)=(1，5)时，仅有正整数解(x，y)=(2，1);1982年，曹珍富［4］证明了(p，q)=(3，2)时，仅有正整数解(x，y)=(8，9);1991年，罗明［5］证明了(p，q)=(1，7)时，仅有正整数解(x，y)=(4，2);2001年，LuoMing［6］证明了(p，q)=(1，6)时，仅有正整数解(x，y)=(7，4);2007年，程瑶等［7］证明了(p，q)=(1，11)时，无正整数解;2009年，段明辉等［8］证明了(p，q)=(1，19)时，无正整数解;2009年，罗明等［9］证明了(p，q)=(3，5)时，仅有正整数解(x，y)= (7，6);2012年，瞿云云等［10］证明了(p，q)=(1，15)时，仅有正整数解(x，y)=(3，1)，(25，12).但是对于p，q均大于1，且为不相连素数的情况鲜有研究.

此处将运用递归数列方法证明(p，q)=(3，7)时，不定方程

仅有一组正整数解(x，y)=(4，3).首先将方程化(1)为

易知方程x2－21y2=－12的全部整数解由以下4个非结合类给出:

容易验证下列关系式(4)-(10)成立:

下面将分别证明式(3)当且仅当n=0，或者n=－1时成立，由此求得方程(2)的全部整数解，进而求得式(1)的全部正整数解.

1　关于(2y+3)2=4yn+5证明

本节考察n取何值时4yn+5为完全平方数.在做此工作之前先介绍几个引理.

证毕.

引理2若4yn+5为平方数，则必须n≡0，－1(mod 24×32×52).

证明在此次证明中采用对序列{4yn+5}取模的方法证明.由于数字比较大，证明分3步进行.

1)先证明n≡0，－1(mod 24).

mod 17，排除n≡1，2，3，4，7，14(mod 16)，此时4yn+5≡12，6，6，6，12，14，14(mod 17)，剩余n≡0，5，6，8，9，10，11，12，13，15(mod 16);mod 31，排除n≡9，10，11，12(mod 16)，此时4yn+5≡13，21，21，13(mod 31);mod 193，排除n≡6，8，13，15(mod 32)，此时4yn+5≡122，180，180，122(mod 193);mod 1 493，排除n≡24，29 (mod 32)，此时4yn+5≡1 007，1 007(mod 1 439);mod 191，排除n≡16，21，22，53，54(mod 64)，此时4yn+5≡76，91，89，110，112(mod 191);剩n≡0，5，－1(mod 16)，mod 263，排除n≡5(mod 8)，此时4yn+5≡167(263)，即n≡0，－1(mod 24).

2)再证明n≡0，－1(mod 32).

mod 53，排除n≡1，2，4，5(mod 9)，此时4yn+5≡51，26，30，14(mod 53);mod 379，排除n≡6，12(mod 18)，此时4yn+5≡375，10(mod 379);mod 3 511，排除n≡3，7，15，16(mod 18)，此时4yn+5≡807，2 182，2 718，1 339(mod 3511);剩余n≡0，8，9，17(mod 18)，即n≡0，－1(mod 32).

3)最后证明n≡0，－1(mod 52).

mod 199，排除n≡1，2，3，4，5，6，7，10，11，12，14，16，17，19，21，22，23(mod 25)，此时4yn+5≡170，42，129，76，129，42，170，3，107，83，192，83，107，3(mod 199);mod 32 051，排除n≡15(mod 25)，此时4yn+5≡1 749(mod 32 051);mod 421，排除n≡3(mod 5)，此时4yn+5≡362(mod 421);mod 151，排除n≡9，20，34(mod 50)，此时4yn+5≡133，129，28(mod 151);mod 1 619，排除n≡5，15(mod 20)，此时4yn+5≡141，1 488(mod 1 619);剩余n≡0，24，49，50，74，99(mod 100)，即n≡0，－1(mod 52).证毕.

引理3设n≡0(mod 24×32×52)且n＞0，则4yn+5不为完全平方数.

证明令n=2×k×32×52×2t，(t≥3，2 k)，对{5un±12vn}取模223，所得的两个剩余序列周期均为56，而对{2t}模56的剩余序列具有周期3.下面对k分两种情况讨论.

a)k≡1(mod 4)时，令

则有表1.

其中第一行表示t(t≥3)(mod 3)，第二行表示m(mod 56)，第三行表示5um+12vm(223).特别地，当t=1时，取m=22，此时5um+12vm≡112(mod 223);当t=2时，取m=4，此时5um+12vm≡199(mod 223).对表1中所有m，以及特殊的t=1，2时的m，均有于是由式(9)(10)及引理1，有4y+5≡4y+5≡n2m12v2m+5(mod u2m).于是得到

从而4yn+5是非平方数.

b)k≡－1(mod 4)时，令

则有表2.

表1　k≡1(mod 4)情况下的数据

表2　k≡－1(mod 4)情况下的数据

其中第一行表示t(t≥3)(mod 3)，第二行表示m(mod 56)，第三行表示5um－12vm(mod 223)．对表2中所有m，均有，于是由式(9)(10)及引理1，有．于是得到

从而4yn+5是非平方数.证毕.

引理4设n≡－1(mod 24×32×52)，则仅当n=－1时，4yn+5为完全平方数.

证明如果n≡－1(mod 24×32×52)且n≠－1，则可令n=－1+2·k×32×52×2t，(t≥3，2 k)，由式(9)知，4yn+5≡－4y－1+5≡－71(mod um)，又时，um≡1(mod 4)，从而

对{um}取模71，所得的剩余序列周期为24，而对{2t}模24的剩余序列具有周期2.令

特别地，当t=1时，取m=2，此时um≡14(mod 71);当t=2时，取m=1，此时um≡61(mod 71).对所有m，包括特殊的t=1，2时的m，均有于是可知，即4y+5不为平方数，假设不成立.当n=－1n时，4yn+5=92.证毕.

3　结论

综合以上结果，现给出主要结论.

定理1不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解.

证明由引理5知

因此y=－1，－2.由引理1，2知

因此y=0，－3.

因此y=3，－6.

由此，容易知道方程(1)有16组解，其中有4组解是非平方解，它们是(4，3)，(－7，3)，(－7，－6)，(4，－6).

因此，不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)仅有正整数解(x，y)=(4，3).

［1］COHN JE.The Diophantine Equations x(x+1)(x+2)(x+3)=2y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.Pacific JMath，1971(37):311-335

［2］PONNUDUEAIT.The Diophantine Equation x(x+1)(x+2)(x+3)=3y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.JLondon Math soc，1975(10): 232-240

［3］宣体佐.关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.北京师范大学学报:自然科学版，1982(3):27-34

［4］曹珍富.关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=2y(y+1)(y+2)(y+3)［R］.哈尔滨工业大学科研报告，1982

［5］罗明.关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.重庆师范学院学报:自然科学版，1991，8(1):1-8

［6］LUO M.The Diophantine Equations x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.Indian JPure Appl Math，2001(1):3-7

［7］程瑶，马玉林.关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=11y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.重庆师范学院学报:自然科学版，2007，24(3):27-30

［8］段辉明，杨春德.关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=19y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(1):60-63

［9］罗明，朱德辉，马芙蓉.关于不定方程3x(x+1)(x+2)(x+3)=5y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.西南师范大学学报:自然科学版，2009，34(5):16-21

［10］瞿云云，曹慧，罗永贵，等.关于不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=15y(y+1)(y+2)(y+3)［J］.西南师范大学学报:自然科学版，2012，37(6):9-14

［11］柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，1980

On the Diophantine Equation 3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)

GOU Sha-sha
(School of Mathematics and Statistics，Southwest University，Chongqing 400715，China)

By using themethod of recurrence sequences and quadratic remainders，this paper proves that the Diophantine equation 3x(x+1)(x+2)(x+3)=7y(y+1)(y+2)(y+3)has unique positive integer solution(x，y)= (4，3).

diophantine equation;integer solution;recurrence sequence;quadratic remainder.

O156.2

A

1672－058X(2015)09－0048－05

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0009.013

2014－11－01;

2015－01－10.

苟莎莎(1991-)，女，四川广元人，硕士研究生，从事代数数论研究.