研究合力随两分力夹角变化的规律

陈显盈　尤爱惠

摘 要：利用EXCEL软件绘制出合力及其导数（即斜率）随两分力夹角变化的图像，即F-θ图像和F'（θ）-θ图像，进而分析曲线变化的特点和规律。

关键词：合力；分力夹角；F-θ图像；F'（θ）-θ图像；变化规律

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）8-0060-4

1 提出问题

本刊2015年第5期刊登了《用EXCEL研究合力和两个分力夹角的变化关系》[1]。该文用EXCEL绘制了F-θ图像，指出了一些错误的F-θ图像。另外，编者对该文提出了建议：用数学分析的方法求和，进而分析图像斜率的变化规律并确定拐点。因此，笔者采用EXCEL软件对F-θ图像和F'（θ）-θ图像进行绘制，进而分析图像中曲线变化的特点和规律。

3 绘制图像与分析结果

1）当两分力不等时，合力随夹角变化的规律

以F1=15 N、F2=10 N为例，分别代入（1）（2）式可得，F=（325+300cosθ），F'（θ）=-300sinθ（325+300cosθ）。先新建一个EXCEL文件，再用软件中的“函数”功能计算出结果。其中，在B1、C1表格中分别输入函数公式“=SQRT（325+300*COS（A1*3.14159/180））”和“=-300*SIN（A1*3.14159/180）/SQRT（325+ 300*COS（A1 *3.14159/180））”；具体结果见表1。最后，用“图表”功能中的“XY散点图”选项分别绘制出F-θ图像和F'（θ）-θ图像，具体结果见图2。

结合表1和图2可以看出：当θ=0时，斜率为0；在0到180°范围内，斜率为负数，其绝对值随着夹角θ的增大而先增大后减小；当θ=180 °时，斜率又为0，在F-θ图像中此附近表现出“U”字型曲线；在夹角180 °到360 °范围内，斜率为正数，随着夹角θ的增大而先增大后减小；当θ=360 °时，斜率又为0。

2）当两分力相等时，合力随夹角变化的规律

以F1=F2=15 N为例，代入（3）（4）式可得，F=15（2+2cosθ），F'（θ）=-30sinθ（2+2cosθ）。

同理，用EXCEL软件计算结果并绘制出F-θ图像和F'（θ）-θ图像，具体结果见表2和图3。

结合表2和图3可以看出：当θ=0时，斜率为0；在0到180 °范围内，斜率为负数，其绝对值随着夹角的增大而一直增大；当θ=180 °时，斜率公式中分母为0，显示“#DIV/0”，其实在附近F-θ图像中斜率从-30突变为30，会表现出“V”字型曲线；在夹角180 °到360 °范围内，斜率为正数，随着夹角θ的增大而一直变小；当θ=360 °时，斜率又为0。

3）不同分力时，合力随夹角变化的规律

在F1为15 N，而F2分别为1 N、4 N、7 N、10 N、13 N、15 N时，代入（2）式并用mathematica软件绘制在同一坐标中，结果如图4所示。可以看出：当两分力不相等时，导数绝对值在0到180 °范围内先增大后减小，其拐角在90 °到180 °之间，在两分力越接近时，曲线拐角越靠近180 °；当两分力相等时，导数绝对值在0到180 °范围内一直增大，即拐角在180 °处。

4 总结规律

对于合力及其导数（即斜率）随两分力夹角变化的曲线，其大致规律总结如下：

对于合力的变化规律，不管两个分力是否相等，当θ=0时，合力最大，为F1+F2；在0到180 °范围内，合力F随着两分力夹角θ的增大而减小；当θ=180 °时，合力最小，为F1-F2；在180 °到360 °范围内，合力F随着夹角θ的增大而增大；当θ=360 °时，合力又最大。

对于合力导数（即斜率）的变化规律，在θ=0处，不管两个分力是否相等，F'（θ）都为0，即F-θ曲线的斜率为0，说明曲线刚开始都比较平缓再慢慢变陡。其最大的不同之处是在θ=180 °附近，利用EXCEL在θ=180 °附近绘制的F-θ曲线如图5所示。当F1≠F2时，F-θ曲线斜率的绝对值先增大后减小，即先从平缓变陡再变平缓，表现出“U”字型曲线；当F1=F2时，F-θ曲线斜率的绝对值一直增大，即从平缓一直变陡，表现出“V”字型曲线，

5 案例分析（常见错误F-θ图像纠正）

案例1：在夹角为0附近的常见错误图像

题目1：有两个互成角度的共点力，夹角为θ，它们的合力F随θ变化的关系如图6（a）所示，根据图像可知两共点力的大小分别是 。

图像分析及纠正：如图6（a）所示，根据图像两力分别2 N和3 N，在180 °附近出现“U”字型曲线，基本正确。但在夹角为0附近，曲线刚开始就较陡，而实际情况是比较平缓，斜率接近0，纠正后的大致图像如图6（b）所示。

案例2：在夹角为90 °附近的常见错误图像

题目2：作用在同一质点上的两个力的合力F随两个分力夹角θ（从90 °到270 °）的变化情况如图7（a）所示，则两力的大小分别是______N和______N。

图像分析及纠正：如图7（a）所示，根据题意可算得两分力分别为30 N和40 N，在180 °附近出现“U”字型曲线，基本正确。但在夹角为90 °附近，曲线斜率达到无穷大，这与实际相矛盾，应减小其斜率，纠正后的大致图像如图7（b）所示。

案例3：在夹角为180 °附近的常见错误图像

题目3：有两个互成角度的共点力，夹角为θ，它们的合力F随θ变化的关系如图8（a）所示，那么这两个力的大小分别是（ ）

A.1 N和6 N

B.2 N和5 N

C.3 N和4 N

D.4.5 N和2.5 N

图像分析及纠正：如图8（a）所示，合力最小值不为0，说明两分力不相等，而在夹角为弧度附近表现为“V”字型曲线，相互矛盾，所以该图像描绘错误。

纠正该图有两种方法：如图8（b）所示，可将“V”字型曲线改为“U”字型曲线，此时答案为4.5 N和2.5 N；如图8（c）所示，也可将曲线下移到最小值为0位置，此时答案为都是2.5 N。

参考文献：

[1]罗志恒.用EXCEL研究合力和两个分力夹角的变化关系[J].物理教学探讨，2015，33（5）：54.

[2]陈显盈，尤爱惠.用Mathematica演示波的衍射、干涉现象[J].物理通报，2010（11）：95.

（栏目编辑 王柏庐）