小议物体动态平衡问题

温卫国

摘 要：对物体正确地进行受力分析，是高中物理的一个重点，而对动态平衡问题，由于类型和方法多样，是教学的一个难点。本文通过公式法、图像法等六种方法，为学生解决此类问题提供了方法和思路。

关键词：动态平衡；受力分析；公式法；图像法

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）8-0041-4

在对物体进行受力分析时，往往涉及到一种常见的动态平衡问题，它是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生“缓慢”变化。“缓慢”是指物体的速度很小，可认为速度为零。所以，物体在变化过程中始终处于平衡状态。笔者通过对此类问题的分析，归纳并总结了此类问题的六种常见类型，供参考。

1 利用公式讨论力的变化

例1 如图1是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图。使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，以下说法正确的是（ ）

A.F1增大，F2减小

B.F1减小，F2 增大

C.F1、F2均增大

D.F1、F2均减小

分析 设撑竿与墙壁间的夹角为θ，因“涂料滚”受到三力作用而平衡，则可求得推力F1=mg/cosθ，墙壁对涂料滚的支持力为F=mgtanθ，即涂料滚对墙壁的压力为F2=mgtanθ，当涂料滚缓缓上推时，θ逐渐减小，F1、F2均减小，选D。

例2 如图2，在具有水平转轴O的圆柱体A点放一重物P，圆柱体缓慢地匀速转动，P随圆柱体从A转至A' 的过程中与圆柱体始终保持相对静止，则P受到的摩擦力的大小变化情况，下列各图中正确的是（ ）

分析 重物P与圆柱体之间的摩擦力为静摩擦力，且静摩擦力与物体在该点的下滑力相等，即Ff=mgcosθ=mgcos（α+ωt）（α为OA与水平线的夹角），由于θ增大，Ff逐渐减小且摩擦力的大小变化情况以最高点为对称。所以，正确的是选项A。

说明：分析此类问题时，先求出力F的大小表达式，然后根据角度的变化作出正确判断。

2 借用图像讨论力的变化

当物体受三力作用而处于平衡状态时，其合力为零，三个力的矢量依次恰好首尾相连，构成闭合三角形，当物体所受三个力中二个发生变化而又维持平衡关系时，这个闭合三角形总是存在，只不过形状发生改变而已，比较这些不同形状的矢量三角形，各力的大小及变化就一目了然了。

例3 如图4所示，电灯悬挂于两墙壁之间，更换水平绳OA使连接点A向上移动而保持0点的位置不变，则在A点向上移动的过程中（ ）

A.绳OB的拉力逐渐增大

B.绳OB的拉力逐渐减小

C.绳OA的拉力先增大后减小

D.绳OA的拉力先减小后增大

分析 在绳OA的连接点A向上移动的过程中，结点O始终处于平衡状态。在变化过程中各力的变化特点是：电灯通过悬绳对O点的拉力F3的大小、方向不变，绳BO对点O的拉力F2的方向不变，变化的是绳AO对O点拉力的方向，作出如图5所示的受力图。图中F1、F2、F3分别是AO、绳BO、电灯对结点O的拉力，F3′是F1与F2的合力，且F3′=F3。

在A点向上移动的过程中，F3′的大小和方向都保持不变，F2的方向保持不变。由图5可知，当绳OA与绳OB垂直时，绳OA中的拉力最小，所以绳OA的拉力先减小后增大，绳OB的拉力逐渐减小，故选B、D选项。

例4 重为G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的压力大小如何变化？

分析 由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于平衡状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由图7可知，挡板逆时针转动90 °，F2矢量也逆时针转动90 °，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

说明：力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法，这种方法的优点是形象直观，可使问题得到简化。

3 根据相似三角形讨论力的变化

对于受三力作用而平衡的物体，如果三力组成的矢量三角形为非特殊三角形（直角三角形或等腰三角形），则可寻找与力的三角形相似的几何三角形，利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化问题转化为几何三角形边长的大小变化问题进行讨论。

例5 一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图8所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是（ ）

A.FN先减小，后增大 B.FN始终不变

C.F先减小，后增大 D.F始终不变

分析 取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F），BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图9所示，得到一个力三角形（如图中画斜线部分），此力三角形与几何三角形OBA相似。设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得■=■=■，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。故B选项正确。

例6 如图10所示，固定在水平面上光滑半球，半径为R，球心O的正上方A固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面的P点，另一端绕过A点，现缓慢地将小球从P点向上移动的过程中，小球对半球的压力大小N、细线的拉力大小F的变化情况是（ ）

A.N变大，F不变 B.N变小，F变大

C.N不变，F变小 D.N变大，F变小

拉动过程中，AP变小，OA与R不变，所以N不变，F变小。

说明：利用相似三角形法，可以解决非特殊三角形的一类问题。

4 运用整体法讨论力的变化

例7 如图11所示，轻绳一端系在质量为m的物块上，另一端系在一个套在粗糙竖直棒MN的圆环上。现用水平力F拉住绳子上一点O，使物块从图中实线位置缓慢下降到虚线位置，但圆环仍保持在原来位置不动。在这一过程中，环对杆的摩擦力F1和环对杆的压力F2的变化情况是（ ）

A.F1保持不变，F2逐渐增大

B.F1逐渐增大，F2保持不变

C.F1逐渐减小，F2保持不变

D.F1保持不变，F2逐渐减小

分析 将圆环和物体看成一个整体，则这个整体受到四个力，整个系统的重力，水平拉力F，杆对环的弹力大小等于F2，杆对环的摩擦力大小等于F1，系统处于平衡状态则F=F2，F1=（m+M）g，当物体从实线位置缓慢下降到虚线位置时绳与竖直方向夹角变小，根据F=mgtanθ，可知F2减小，正确答案是D选项。

例8 在粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。现对B加一竖直向下的力F，F的作用线通过球心，设墙对B的作用力为F1，B对A的作用力为F2，地面对A的作用力为F3。若F缓慢增大而整个装置仍保持静止，如图12所示，在此过程中（ ）

A.F1保持不变，F3缓慢增大

B.F1缓慢增大，F3保持不变

C.F2缓慢增大，F3缓慢增大

D.F2缓慢增大，F3保持不变

分析 力F产生了两个作用效果，一个是使B压紧墙面的力F1，一个是压紧A的力F2，当力F缓慢增大时，合力的方向和两个分力的方向都没有发生变化，所以当合力增大时两个分力同时增大。用整体法进行分析，可知地面对A的作用力F3是弹力与摩擦力的合力，摩擦力与F1大小相等，方向相反；弹力与力F和两球重力的合力大小相等，方向相反，选项C正确。

说明：通过整体法分析问题，可以培养学生的全局意识，提高他们分析问题和解决问题的能力。

5 根据临界条件分析力的变化

例9 如图13所示，在粗糙的斜面上，一木块受到从零开始逐渐增大的水平推力F作用，且木块始终处于静止状态，则下列说法正确的是（ ）

A.摩擦力的方向始终沿斜面向上

B.摩擦力的方向可能先沿斜面向上、后沿斜面向下

C.摩擦力逐渐变大

D.摩擦力逐渐变小

分析 本题的关键是寻找Ff=0时的临界条件，由题意可知，当F增大到Gtanθ时，Ff=0；所以，当推力F≤Gtanθ时，摩擦力大小随推力F的增大而减小到零，方向沿斜面向上；当推力F﹥Gtanθ时，摩擦力大小随推力F的增大而增大，方向沿斜面向下。因此，随着水平推力F的不断增大，摩擦力的方向先沿斜面向上，后沿斜面向下，摩擦力的大小先逐渐变小后逐渐变大。但本题中未说明水平推力F增大到多大，故选项B表达更准确。

当水平推力F较小时，物体受重力G 、弹力FN、摩擦力Ff及推力F四力作用，当推力F增大到Gtanθ时，摩擦力Ff=0，此时物体仅受三力作用。此后，推力F再增大，物体又会受到摩擦力Ff作用。

例10 如图14所示，物体在斜向上的推力F作用下静止于粗糙的竖直墙壁上，当推力F逐渐变大时，试分析物体受到的摩擦力的变化情况。

分析 本题同上题一样，当推力F逐渐变大时，摩擦力Ff的大小也会先增大后减小，问题的关键同样是找出临界条件，即推力F多大时，Ff=0，由题意可知，当推力F的竖直分量等于重力，即 F=G/cosθ时，物体仅受三力作用；因此，当推力F≤G/cosθ时，摩擦力大小随推力F的增大而减小到零，方向竖直向上，当推力F﹥G/cosθ时，摩擦力大小随推力F的增大而增大，方向竖直向下。因此，随着推力F的不断增大，摩擦力的方向先向上、后向下，摩擦力的大小先逐渐变小后逐渐变大。

说明：此类问题的关键是求出四力转化为三力时的临界值。

6 注意似变非变问题

例11 如图15所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别上下移动到不同的位置时，绳子张力变化情况如何？

分析 因为挂钩和绳子都是光滑的，所以两边绳子与竖直方向夹角相等，当B端向上移动到B1位置时，根据对称性可以证明绳子方向与OB方向平行，即衣服挂钩与绳子的夹角不发生变化，所以不会使张力变化。

例12 如图16所示，OA为一遵循胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块相连。当绳处于竖直位置时，滑块对地面有压力作用。B为紧挨绳的一光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。现用一水平力F作用于滑块，使之向右缓慢地做直线运动，则在运动过程中，地面对滑块的支持力FN如何变化？

分析 设AB间的长度为x，就是弹性轻绳开始时的伸长量。当绳处于竖直位置时，地面对滑块的支持力FN=mg-kx。滑块向右缓慢地做直线运动到C时，设BC与水平方向的夹角为θ，这时弹性轻绳的伸长量x′=x/sinθ，这时地面对滑块的支持力FN=mg-kx′sinθ=mg-kx，所以地面对滑块的支持力不变，此时地面对滑块的滑动摩擦力保持不变。

从以上各例可以看出，尽管动态平衡问题类型较多，但只要我们掌握相应的方法，熟悉处理各种问题的思路，一定能快速并准确地得出结论。

参考文献：

[1]李永.物理习题教学的反思教学[J].物理教学探讨，2011，29（7）：21—22.

[2]张宪魁.实施物理科学方法教学的策略谈[J].物理教学探讨，2014，32（1）：1—5.

（栏目编辑 罗琬华）