等差数列设项技巧

马继钧

涉及等差数列的问题，很多的解决方法与设项的情况有关，设得巧解决起来就快速简便，设得不恰当，运算烦琐，还容易出现错误.下面就常见等差数列设的技巧进行剖析，希望对大家有所

帮助.

一、前后对称项问题利用性质求解

例1.（2014·陕西模拟）已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（ ）

A.8项 B.7项 C.6项 D.5项

分析：由题意等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，a1+a2+a3+a4=124，并且an+an-1+an-2+an-3=156，所以根据等差数列的性质可得a1+an=70，再结合等差数列的前n项和的公式进行

求解.

解析：由题意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①

并且an+an-1+an-2+an-3=156，…②

由等差数列的性质可知，①+②可得：4（a1+an）=280，

所以a1+an=70.

由等差数列的前n项和公式可得：Sn==35n=210.

所以解得n=6.故选C.

点评：本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式的简单运用，属于对基础知识的简单综合.这类问题关键是设出各项，利用等差数列的性质结合等差数列的求和公式即可

解决.

二、利用通项与和的关系公式求解

例2.（2014·江苏一模）已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=3n2（n≥2）.若对任意的n∈N*，an

分析：本题已知条件满足相邻项的和，想到an和Sn的关系式，所以关键是根据条件求出an的有关的关系式，利用条件an

解析：由条件Sn+Sn-1=3n2（n≥2）得Sn+1+Sn=3（n+1）2（n≥2），

两式相减得an+1+an=6n+3，

故an+2+an+1=6n+9，两式再相减得an+2-an=6，

由n=2得a1+a2+a1=12，a2=12-2a，

从而a2n=6n+6-2a；n=3得a1+a2+a3+a1+a2=27，a3=3+2a，从而a2n+1=6n-3+2a，

由条件得a<12-2a6n+6-2a<6n-3+2a6n-3+2a<6（n+1）+6-2a，

点评：本题主要考查参数取值范围的求解，根据条件求出与an的有关的关系式是解决本题的关键，有一定的难度.

三、转化为基本量求解

例3.（2014·太原一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14-S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

分析：等差数列{an}中，利用基本量法，求出首项与公差，得到Sn的公式，利用配方法能够求出Sn取得最小值时n的值.

解析：等差数列{an}中，

∵a4+a7+a10=9，S14-S3=77，

∴当n=5时，Sn取得最小值.故选B.

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.

四、连续三项设中间项

例4.三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为 .

分析：由三个数成等差数列，设为a-d，a，a+d，从而求解.

解析：依题意设这个数列为a-d、a，a+d.于是可得a-d+a+a+d=18，且（a-d）2+a2+（a+d）2=116.

解得a=6，d=2或a=6，d=-2，所以这三个数为4，6，8.故答案为：4，6，8.

点评：本题考查成等差数列的数的设法，本题的设法大大减少了运算量.

编辑 韩 晓