无穷大量的比较在极限计算中的作用

张春梅　杨晓梅

摘 要： 无穷大量在极限计算中是比较常见的一种变化过程，尤其是对无穷大量的比较，可以在相关极限计算问题中，快速的处理极限问题.本文在无穷大量比较的基础上给出了一些相关计算技巧，作为应用证明了当时的“抓大头”公式.

关键词： 无穷大量 高阶 低阶 等价 抓大头

无穷小量和无穷大量是高等数学极限的学习中两个重要的概念，准确的理解和掌握这两个概念对极限的计算有着重要的意义.但在很多相关教材中，只是着重介绍了无穷小量的性质和应用，对于无穷大量的定义、性质的介绍都比较简单[1]，甚至还有些教材连无穷大量的严格定义都没有提及[2]，使得学生在学习中对于无穷大量的了解较少，甚至导致有些学生完全忽视无穷大量的作用.事实上，灵活利用无穷大量的性质对解决某些极限问题有很大的帮助.本文主要通过无穷大量的比较，讨论并总结了无穷大量的一些性质，并利用无穷大量阶的性质，证明极限计算中的“抓大头”公式，同时利用“抓大头”公式简单计算一些极限问题.

一、无穷大量的比较

我们在介绍无穷小量时，为了对无穷小量收敛到0的“速度”进行比较，给出了无穷小量阶的定义，得到了高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的概念.类似的，为了便于比较无穷大量发散的“速度”，我们可以相仿地给出无穷大量，阶的定义，即高阶无穷大量，低阶无穷大量，同阶无穷大量以及等价无穷大量.

定义1：设变量α，β是自变量某一变化过程中的无穷大量，

（1）如果

二、无穷大量比较的运算性质

根据前面的无穷大量比较的定义，容易得到以下定理：

定理1：若在自变量的某一变化过程中，α是比β高阶的无穷大量，则α+β与α等价.

定理5：设是自变量某一变化过程的无穷大量，a为任一常数，则α+a等价于α.

三、“抓大头”公式的证明与应用

从上面的例子中我们可以看出，利用“抓大头”公式求解在时的极限问题，简单方便，而且可以通过很简易的生活举例就可以让学生快速理解并记住.例如，在上课时，讲到这样的问题，我通常会问学生，你去市场买苹果，第一家小贩卖9元钱一公斤，然后你又走了好几家问了都是10元一公斤，一样的苹果，你会怎么做？学生都会回答，回第一家去买啊！接着又问学生，那假设你要去买电脑，到第一家9999，然后又转了一大圈，基本上后面每一家都说10000元，这时候呢？学生会回答，就直接买了啊，价格一样.然后又问学生，同样是一元钱的差别，你为什么会表现不同？学生说，和10元钱比起来1元钱很多啊，但是和10000元比较，就没什么了.那么这时候就可以给学生作总结了，对啊，因为10000元你们认为很多，在它的面前，你们就认为很多了，那么在一个可以无限大的量面前，任何一个常数是不是都可以看起来微不足道，忽略不计了？就像计算比尔盖茨的钱，你们只关心多少亿，还关心后面的千、百、十吗？同理，在一个高阶无穷小的面前，比它低阶的量都可以忽略不计，那么这样我们只需要抓住一个“大头”就可以了，那些小的微不足道的量就可以省略了.学生在笑声中记住了“抓大头”公式，这不比教材中的公式

要好记得多吗？而且学生也不会再出现记错或者觉得公式难记的问题了.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007.

[2]欧阳光中，姚允龙，周渊.数学分析[M].复旦大学出版社，2011.

[3]邹慧超，周莉，唐瑞娜.无穷大量阶的比较在无穷积分中的应用[J].烟台师范学院学报（自然科学版），2003，19（2）：144-147.

[4]刘桂先，刘庆升.求极限的等价无穷大代换[J].高等数学研究，2011，14（1）：51-52.

基金项目：新疆大学21世纪高等教育教学改革工程三期项目，XJU2013JGY18.