相似

高萍

经过七八年级的学习，我们会发现，方程思想实在是中学数学的解题利器，尤其是在有计算需要的时候，如解决实际问题，在图形中求线段长度、求角度等.解决实际问题时，我们借助线段图、关系句等方式寻找等量关系来列方程，在图形中求角度时我们根据多边形内角和及角的和差积商关系来列方程，求长度时用得较多的则是根据勾股定理来列方程.现在我们学了相似，又有了一个新的列方程的好帮手了.

一、 利器初体验

例1 如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥AC，则CD的长是多少？

【分析】由C′D∥AC可知△BC′D∽△BAC，则有 = ，设CD=x，可依据此比例式列方程.

解：由勾股定理易得BC=10，设CD=x，则BD=10-x，由题意可知C′D=CD=x，

∵C′D∥AC，∴△BC′D∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，即CD= .

二、 利器显神威

1. 利用两个三角形相似得到的比例式来表示相关的量，借助其他等量关系列方程.

例2 如图2，已知在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上.当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长.

【分析】可利用“△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等”来列方程，关键是表示出△PQC与四边形PABQ的周长，相似三角形可以来帮忙.

解：∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

∴ = = ，

设CP=x，则 = = ，

则CQ= ，PQ= ，AP=4-x，QB=3- ，

由△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等可得：

x+ =（4-x）+3- +5，

解之得x= ，∴CP= .

【小贴士】也可设 = = =k，即 = = =k，则CP=4k，CQ=3k，PQ=5k，AP=4-4k，BQ=3-3k.你能列出方程并求出CP吗？是不是比上面的设法更易计算？在比例式中我们常用这种设法哦！

【考考你】如果没有“△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等”这一条件，只用相似能求出CP吗？满足怎样的条件才能仅利用相似求出CP的长？

【悄悄告诉你】相似的两个三角形至少各知道一条边，才可能仅利用它们的相似求出三角形各边.否则，就需要有其他相关的等量关系来帮忙.

2. 一组相似不够用，连环相似来帮忙.

例3 如图3，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△PBC∽△COA，求P点的坐标.

【分析】要求P点的坐标，可作PD⊥x轴，求出PD、BD即可知P点坐标.由题意易得△PBD∽△CAO，但△PBD一条边都不知道，无法仅利用这一组相似求出PD、BD.观察发现边PB同时也在另一组相似三角形中，可利用△PBC∽△COA先求出PB，问题即迎刃而解.

你能试一试吗？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，②依据△PBC∽△COA求出BP=4 ，③依据△PBD∽△CAO求出BD=4，PD=8，P（8，8）.

3. 一组相似不够用，构造相似来帮忙.

例4 如图4，在平面直角坐标系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△BPC∽△COA，求P点的坐标.

【分析】依据条件中的相似可以求出PC、PB的长，也易得∠CPB是直角，但看不出P点的坐标.要求P点坐标，通常需向坐标轴作垂线.这里显然向y轴作垂线更合适（想一想，为什么？）.但△PMC不能证明与图中的某个三角形相似，这时可以利用“一线三等角”模型，构造出相似三角形——过点B作x轴的垂线，与MP的延长线交于点N.此时△PMC∽△BNP，设MP=x，可表示出NP和MC，在Rt△PMC中，利用勾股定理列方程求出x，则问题得解.

比上一题复杂哦，你还敢试试吗？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，

②依据△BPC∽△COA，可求出PC=2，PB=4，∠CPB=∠AOC=90°，

③证明△PMC∽△BNP，

④设MP=x，则NP=4-x，依据△PMC∽△BNP，可得 = ，即 = ，可表示出MC= ，

⑤在Rt△PMC中，根据勾股定理可得 2+x2=22，解得x= ，可求出MC= ，MO= ，P ， .

怎么样，你做对了吗？看起来，有了相似这片“绿叶”，方程思想方法显示出更大的威力了呢！

（作者单位：江苏省常州市金坛区第三中学）