双棒在不同情景下的最终运动状态

石端明

在电磁感应导体棒运动问题中，两个导体棒运动的最终速度大小及关系问题是学生的难点，不同的情景带来不同的状态，但是解决此难点的方法很简单，那就是从分析受力入手，分析其运动规律，就会水到渠成。

例：如图1所示，在水平面内有平行的光滑导轨MN和PQ，不计电阻、它们间距为L，在其上横放着两根金属棒ab和cd，质量分别为m■和m■，金属棒单位长度电阻为R，整个装置处在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现在给金属棒ab一个平行导轨向右的瞬时初速度V■而开始运动起来，求最终棒ab和cd的最终速度？

图1

解析：ab棒开始切割磁感线运动、产生感应电动势E■=BLV■，在两棒和导轨组成的回路中产生感应电流，cd棒在安培力作用下向右运动、切割磁感线产生感应电动势为E■=BLV■，等效电路如图2所示，其中r=LR、电路中电流I=■。

图2

ab棒在安培力F=BIL=B■L■（V■-V■）/（2Lr）作用下做减速运动、cd棒在安培力F作用下作加速运动，在速度相等时，加速度a均为0，所以最终两金属棒以共同速度V运动。

对两棒，水平方向上动量守恒有：

m■V■=（m■+m■）V，解得V=■

因此最终状态为：以■匀速运动。

变式1：若例题中ab棒的初速度V■为0，而受到一个向右的水平恒力F作用，其他条件不变，如图3所示，再求最终棒ab和cd的最终运动情况？

图3

解析：有些学生不假思索、想当然地認为和例题一样，最终以共同速度运动。其实要搞清楚两棒的最终运动情况应从每个棒受力情况入手。

在开始经过一小段时间，设ab和cd的速度分别为V■、V■，回路中的电动势为E=BL（V■-V■）、电流为I=E/（2LR）、两导体棒受到的安培力均为F■=BIL，即F1=B■L■（V■-V■）/（2LR），

应用牛顿第二定律可知，

ab棒的加速度a■=（F-F■）/m■，

cd棒的加速度a■=F■/m■，

在开始阶段，a■>a■，（V■-V■）增大、安培力F■增大，a■减小、a■增大，则ab棒做加速度a■越来越小的加速度运动、cd棒做加速度a■越来越大的加速度运动，一定会出现加速度相等的时刻，即a■=a■，此后（V■-V■）保持不变，他们以共同加速度运动而收尾，共同加速度a=F/（ m■+m■），以上各式联立解得：V■-V■=■。

因此：它们的最终状态是做加速度相同的匀加速运动，保持速度差为■不变。

变式2：在例题中，把导轨变成由两部分m■N■、P■Q■和m■N■、P■Q■构成，且M■N■∥P■Q■、导轨间距为L1，M■N■∥P■Q■、导轨间距为L■，导棒cd放置在M■N■和P■Q■上、且距离Q■N■较远，导棒ab放置在M■N■和P■Q■上，如图4所示，现在给ab一个向右的初速度V■，判定最终两棒的运动？

图4

解析：ab以V■开始向右切割磁感线运动，在回路中产生感应电流，cd受到向右的安培力开始向右加速运动、ab受到向左的安培力而减速运动，穿过闭合回路的磁通量增加，根据楞次定律阻碍磁通量增加可知，最终回路磁通量不变，两棒都做匀速运动，设此过程中通过回路横截面的电荷量为q，设ab、cd的速度分别为V■、V■，根据最终穿过回路的磁通量不变，有

L■V■=L■V■ ①

对ab，从V■开始到V■，应用动量定理有：

-BL■q=m■V■-m■V■ ②

对cd，从0到V■，应用动量定理有：

BL■q=m■V■ ③

②/③再除以①可得V■=■，V■=■。

因此，ab、cd最终分别以V■=■，V■=■匀速运动。

总之，对于电磁感应问题还是要从基本的方法分析起，从动力学知识、电路等方面把握，问题就会迎刃而解。