数学教学的逻辑

张鹤，海淀区教师进修学校数学教研员，北京市特级教师。海淀区名师工作站中学数学导师组组长，承担海淀区优秀教师的培养工作。2008年被授予苏步青数学教育奖（二等奖）。

课堂教学中常常看到这样一种教学状态：教师为了引入课题，向学生提出一些莫名其妙的问题，让学生摸不着头脑。为了配合教师的教学，学生也努力地思考着并给出他们的解释或回答。还有一种常常能看到的教学现象，就是学生们在教师的指令下进行一些操作性的学习活动（也常常美言为探究活动），但是为什么探究，学生似乎也不是很关心，只要按照教师的要求做就是了。每当在教学过程中出现一些思维难点时，这本来正是需要学生们静静思考的时候，教师却耐不住这份寂寞，容不得静悄悄的课堂，总要“煽动”学生们进行小组交流，开展合作学习。这种喧闹下的学习也总是能够产生“奇效”，再难的问题在合作学习下也“无坚不摧”。如果按照时下流行的教学理念去对照课堂中出现的这些现象，都能看到教育教学改革的“效果”：在问题解决中培养学生的思维能力，在探究学习中培养学生的解决问题能力。

实事求是地评价教学中的这些现象，不能不说这样的课堂总是让人感到缺一点东西，失去了一些味道，让人看不到贯穿课堂教学始终的一条主线。即使是教师自己来评价，也是不满意的居多，他们也以只会教学生知识不会教学生能力自嘲。一些教师对课堂教学工作产生职业倦怠，也正是他们在课堂教学的活动中享受不到工作的乐趣所致。

北京师范大学王策三先生在他的专著《教学论稿》中指出：教学过程本质上就是认识的过程。这句话是对教学过程本质的最精练概括，让我们能够静下心来思考教学过程的最本质的东西是什么，为什么我们的教学会出现不尽如人意的现象。

上述教学现象的产生，最根本的原因在于课堂教学逻辑的缺失。一个能够让学生体会到学习的快乐、让教师享受到教学乐趣的课堂，一定是遵循了教学规律的课堂，这样的课堂应该赋有教学的逻辑。所谓逻辑通常是指思维的规律和方法。数学的教学过程是人认识知识本质的过程，在这个过程中并存着教师的教学过程，知识的发生、发展过程以及教师与学生的思维活动过程，这些过程实际上都是教学中客观存在的逻辑过程，它必然存在着思维层面的规律和方法。

教学的逻辑首先是知识的逻辑。教学的展开都是以知识为载体的，而知识是有逻辑关系的。知识逻辑回答教学“教什么”的问题，它是教学活动中最具实质性的要素。知识逻辑一方面体现在本节课的知识与其所属学科其他知识之间的逻辑关系；另一方面体现在本节课的知识与学生此前所学知识的逻辑关系和此后将要学习的知识之间的逻辑关系。作为教师，在进行一节课的知识教学前，就要能够明确这些逻辑关系，并依据对知识的逻辑理解和认识，进行教学设计。知识的逻辑具有隐蔽性，但它无时无刻不在，如果你不去研究，你就看不到它，课堂教学就会不可避免地陷入单纯的知识教学中，缺乏逻辑的教学也就“应运而生”了。

如何把握知识的逻辑关系呢？我认为明确所教授的知识与这段知识所处学科的知识之间逻辑关系是最为重要的。这种关系能够使我们看清楚教师今天所教授的知识在整个学科知识体系中的地位与价值；教师在课堂上所进行的知识的教学是否遵循着学科的观点和思维的方法；教师的课堂教学是不是在引导着学生探寻学科的本质。可以说，每一节课的知识的教学就是在明确着这些知识与学科知识的内在逻辑关系，让学生通过知识的学习去体会、感受所学知识与知识所处的学科的逻辑关系。

例如，在平面几何的各个单元知识的教学中，就要依据几何学的学科知识的内在逻辑。即几何学的教学要让学生学会如何研究单个的几何对象的几何性质和不同几何对象之间的位置关系。在几何学不同阶段的教学中，所教授的知识可能不同，但是都是要培养学生理解和掌握几何学的这种学科观点和研究问题的方法，理解几何学背景下的知识逻辑。

本文以义务教育九年级数学上册第24章关于圆的部分教学内容为例，就其知识逻辑进行简要分析：圆是平面几何学习的一个重要内容，其教学就是要使学生通过圆的有关知识的学习，在直线型图形研究的基础上进一步体会研究非直线型几何图形的思维与方法，深刻领悟几何学的学科观点。

圆这部分的知识逻辑主线是从两个方面展开的：其一是对圆自身性质的研究，即圆的对称性及其应用。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。这种对称性反映了圆这一几何图形的本质特征，它是圆的知识逻辑的核心，因而成为圆的知识逻辑展开的一条主线。无论是学习“垂径定理”还是研究“切线长定理”，都是圆的轴对称性质的体现。关于圆心角定理和圆周角定理，包括“正多边形与圆”的学习和“圆的弧长公式”的学习，也都是在理解体会圆的旋转对称性质或中心对称图形的性质。其二是圆与其他几何元素之间的逻辑关系。在直线与圆的位置关系的研究中，直线与圆相切是需要重点研究的一种位置关系。为了让学生能够更深刻地体会这种位置关系的判定和性质，就要从联系的、运动变化的角度去理解直线与圆的三种位置关系，进而理解直线与圆的

相切。

总之，教师只有从研究几何图形的角度出发，依据平面几何学的观点、方法，才能够揭示出圆的知识逻辑，实现圆的教学价值。

同样，在高中阶段的数学教学中，知识逻辑的确定也是提高教学质量的前提，是教师进行教学研究的切入点。如在平面解析几何的教学中，如何有效地对几何对象进行代数化是教学最为重要的任务。很多时候，由于教师不能从几何学的知识逻辑的角度理解教学，使得平面解析几何的教学经常陷入繁难的代数运算中不能自拔。实际上，依据几何学的知识逻辑，对于几何元素所进行的代数化不是一蹴而就的，而是要在明确几何对象的几何特征前提下进行代数化。如果是用“曲线与方程”的观点看几何对象，就是要明确动点运动的几何规律之后再进行代数化。对于类似直线与椭圆（或双曲线、抛物线）两个或两个以上几何对象的研究，也是先要明确它们之间在几何上的位置关系，才有可能用代数方法去解决它们的问题。

又比如，在立体几何的教学中，尽管研究的对象是空间几何体，但是同样要遵循几何学知识逻辑展开教学。也就是要研究几何元素点、直线、平面的确定以及它们之间的位置关系。如2013年高考北京文科卷的第8题：在正方体的体对角线上有一个三等分点P，问点P到正方体的八个顶点的距离有几组不同的值。解决这个问题的关键就是要确定点P的位置。题目仅是从代数的量的角度给出了点P的位置，但是点P的几何特征仍然没有明确下来。这个点在几何上是如何确定的就成为解决问题的关键。这种认识就是基于数学问题与几何学知识逻辑的关系的思考与研究。

发展学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，教师的教学任务就是要通过教学活动，让学生领悟数学的各个单元知识的思维特征，并能够用知识所承载的思维方法理解数学问题并解决数学问题。因此，教学的逻辑不仅体现在知识本身的逻辑上，也反映在参与教学的教师与学生的思维活动中。思维逻辑就是指在知识逻辑的基础上，在师生之间所进行的思维活动的规律和方法。

数学的教学价值在于学生思维逻辑的确立，让学生的思维具有逻辑是数学教学最为重要的任务。但这个目标的达成不是知识逻辑自身能够完成的，它需要授课教师在对知识逻辑具有深刻理解和认同的基础上进行富有成效的教学活动，让学生在学习知识的过程中建立起思维逻辑。可以说，思维逻辑不仅是教师教学工作专业性的体现，也是学生在知识学习的基础上学科素养全面提高的重要标志。

既然思维的逻辑在数学教学中的地位如此重要，那么思维逻辑在现实的教学中是不是得到了应有的地位呢？我们不得不承认，在现如今的教学实践中，应试思维还非常普遍，它在一些教师和学生的头脑中还根深蒂固。如在习题教学中，一些教师为了让学生尽快地运用数学的结论解决数学问题，主动放弃了许多有学科价值的数学思维活动，让学生在没有理解问题的情况下就直接进入到操作层面的学习活动中，学生知其然不知其所以然的现象客观存在。在应试的思维下，“解题模型”已经从商家的鼓噪堂而皇之地进入我们的课堂，成为一些教师进行解题教学的利器。现如今，平面几何教学中的基本图形已经不是10多年前的“基本图形”的概念了。最早提出“基本图形”概念的北京市西城区教育学院的傅佑珊老师在《平面几何基本图形的方法与教学实践》一文中指出：“所谓基本图形是指现行教材中概念公理和定理所对应的图形。”可是目前流行于课堂教学中的基本图形已经发生了变异，远远超出了当年傅老师给“基本图形”下的定义。各式各样的“基本图形”成为“题型”的代言人，“题型”教学穿上了美丽外衣在教学中大行其道。如在相似三角形判定的教学中，“A型图和X型图”成为能够让学生从复杂的图形中找到解决问题的“基本图形”，并作为判断三角形相似的依据。学生记住了“A型图和X型图”，却失去了用最基本的几何元素之间的位置关系去判断三角形相似的思维训练。这种快餐式的教学就使得思维逻辑的建立变得极其艰难。

如何在教学实践中确立思维逻辑呢？我们深知：数学中的基本概念反映了学科知识的本质，它是学科思维方法的最重要的载体。思维逻辑就来源于教师和学生对基本概念的深刻理解；思维逻辑的建立就依赖于学生在教师的指导下遵循基本概念所承载的思维特点所进行的思维活动。如用函数自变量的变化特征和相对应的因变量的关系来分析函数性质的思维方法，就是依托于函数概念所确立的函数思维的逻辑。“解题模型”是对思维逻辑的反动，应该抛弃；“基本图形”要回归到基本，让学生有更多的机会用最基本的几何位置关系去对问题作出解释和判断。要让学生具有思维逻辑，就要让他们学会用最基本的概念去理解问题和思考问题，并能够站在知识逻辑的高度去认识知识所承载的思维

逻辑。

教学逻辑回答“怎么教”的问题，它是使得教学活动从不规范到规范、从随意性向高度自觉性发展的要素。要让教学过程赋有逻辑，课堂教学的主导者—教师不仅要研究教材，明确知识逻辑，还要研究知识所承载的思维，让课堂教学活动赋有思维逻辑。可以说，知识逻辑和思维逻辑的确立是教学逻辑准确定位的基础，教学逻辑的准确定位又是知识逻辑和思维逻辑在教学中得以充分揭示与展现的条件。

教学逻辑所面临的最大的问题是教师的教学观问题，它是对数学教学本质的溯源。教师的数学观将直接影响学生的学习观，具有正确数学观的教师所理解的数学教育核心就是教好数学，让他的学生的思维具有数学的逻辑。具有正确数学观的教师所采用的教学方法是为学生理解数学内容、研究数学问题服务的方法。数学本质在具有正确数学观教师的课堂上是不会被淹没于表面化的教学形式、意义不当的训练和枝节性的步骤之中的。

总之，作为教学研究者的教师，要准确把握教学中的知识逻辑和思维逻辑，并据此确立教学逻辑。在教学活动中揭示出所教授知识的本质，实现知识教学的教育价值，让学生通过数学学习，感受到数学逻辑的魅力。要让学生掌握研究数学问题的一般方法，养成理性思维的习惯，为他们今后的学习、研究打下一个坚实的

基础。

（责任编辑：赵彩侠）