一道课本习题的变式与延伸

周亚兵

【问题】义务教育教科书苏科版《数学》九年级下册第82页第5题：

如图1，在阳光下，某一时刻，旗杆AB的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上. 设旗杆AB在地面上的影长BC为20 m，在墙面上的影长CD为4 m. 同一时刻，竖立于地面长1 m的标杆的影长为0.8 m. 求旗杆的高度.

【分析】本题中旗杆AB，实际上与建筑物墙面是平行的，因此，不妨过点D作AB的垂线DE，垂足为E，从而将待求的高度AB分成AE和BE两部分. 由于是在“同一时刻”条件下，即将问题转化为求旗杆的AE部分的长度即可.

【解答】过点D作DE⊥AB于E，

∵DC⊥BC于C，AB⊥BC于B，

∴四边形BCDE为矩形，

∴DE=BC=20 m，BE=DC=4 m.

∵同一时刻，在平行光线的照射下，不同物体的高度与影长成比例，

答：旗杆的高度为29 m.

【点评】本题是一道典型的用相似三角形解决实际问题的课本习题. 其实质，利用旗杆与墙面平行的条件构造了与图2中的直角三角形A′B′C′相似的三角形，并应用相似三角形的性质求得对应边的长度，进而解决实际问题.

【变式】假如旗杆的影子落在与旗杆不平行的台阶上，又怎么解决问题呢？让我们一起来思考下面的问题：

例1 兴趣小组的同学要测量树的高度. 在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3所示，若此时落在地面上的影长为5.4米，求树高.

【分析】根据题意可构造相似三角形模型如图4，则其中AB为树高，EF为树影在第一级台阶上的影长，BD为树影在地上部分的长，GF即为树中AG部分所对应的影子，ED的长为台阶高，即为树中BG部分.

【解答】延长FE交AB于G，则Rt△ABC∽Rt△AGF，

（作者单位：江苏省建湖县城南实验初中教育集团城南校区）