探寻本质 多题归一

孙飞

数学学习离不开解题.在解决问题时，我们可对问题的局部（条件或结论）进行改变（往往是位置或数量），从而得到新的数学问题.通过这样的改变，我们能够实现多题归一的目的，从而提升解决问题的能力.下以一例予以说明.

【分析】要证∠P=∠B+∠D，根据条件需从平行线的性质着手分析，寻找相应的同位角或内错角.结合图形我们无法直接找到同位角或内错角，因此我们可从点P作AB的平行线，将∠P分为两个分别与∠B、∠D相等的角，此题即可得证.

【分析】根据上述例子的解题方法，利用平行线的性质，不难推理出∠P=∠D-∠B，根据两直线平行，同位角相等；三角形外角的性质即可证之.

探究3 如果继续改变点P的位置（如图6），其它条件不变，那么∠P、∠B、∠D之间又有什么数量关系？

【分析】本题中没有已知的同位角（或内错角）可以利用，我们可根据上面积累的解题经验，作出合适的辅助线，构造出同位角（或内错角），从而解决问题.

探究4 如果将点P移到直线CD的下方，（如图8、图9），其它条件不变，那么∠P、∠B、∠D之间又有什么数量关系？

【分析】根据图8、图9，由上述的探究思路，不难得出以下结论.

如图8，有∠P=∠B-∠D.

证明过程参见图5.

如图9，有∠P=∠D-∠B.

证明过程参见图6.

改变问题的局部只是给问题“换了件外衣”，其本质是并未改变.在平时的数学学习中，我们要善于在“变”中找出“不变”，洞察本质，从而实现问题的关联.