正、余弦定理在近年高考题中的应用

张杰 喻罗娇

摘 要： 正、余弦定理是高中数学的重要组成部分，本文主要对近年全国各省高考题中的相关问题进行相应的分析，并结合试题的特点及常规思路提出了一些复习建议.

关键词： 高考 正弦定理 余弦定理

1.引言

正、余弦定理是高中数学中三角函数知识的重要组成部分，又是高考考查的重点之一，在近年高考题中占有一定的地位.我们往往以正、余弦定理为工具，结合三角恒等变换，具体求解三角形的某条边、某个角，判断某个角的取值范围、三角形的形状及求解三角形的面积等问题.此类问题灵活多变，涉及的知识面比较广泛，不容易完全做对，重点考查的是学生熟练掌握公式、灵活运用公式的能力，计算能力，以及转化的数学思想.

就近三年高考试题而言，频繁考查了正、余弦定理问题，且其在高考中多以中档题出现，选择题、填空题、解答题均有可能，并且每年试题的题量都相对较稳定.从近几年的情况来看，正、余弦定理往往运用于解答题中的某一个问中，占的分值比较稳定，通常在6分左右.在选择题或者在填空题中出现的分值更是稳定，通常在5分左右.下面我就近年全国相关高考数学题，谈谈正、余弦定理的几种应用.

2.正、余弦定理的几种应用

2.1利用正、余弦定理求解三角形的某条边或两边的比值

此类问题往往是已知三角形的两边一角，要求其另一边，我们会直接利用正、余弦定理求解，如果是已知边与角的关系，要求其边的比值，那么我们通常会利用正、余弦定理将题目中的边角关系转化为纯粹的边的关系或角的关系，再进行求解.

小结：本题难度不大，主要考查对余弦定理的应用，解题的关键是将角全转化为边，考查我们灵活运用公式的能力及转化的数学思想.

2.2利用正、余弦定理求解三角形的某个角

此类问题有时会已知三角形的两边和其中一边的对角，要求其他两角，我们将通过正弦定理直接求出一个角，再通过内角和定理求出另一个角，但通常会已知边角关系，这时我们需要利用正、余弦定理将其转化为纯粹的边的关系或角的关系，进而求出角的值.

小结：本题难度不大，关键是利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理联立求解，是正弦定理与余弦定理的综合考查，主要考查处理数据的能力及运算能力.

2.3利用正、余弦定理判断某个角的范围

此类问题通常是已知三角形三边的关系，要求某个角的范围，我们需要利用余弦定理，再结合均值不等式得到角的取值范围.

综上，此题答案为①②③.

小结：本题的难度比较大，每个选项中都已知了三角形三边的关系，要求角的范围，我们利用余弦定理进行计算，并结合均值不等式得出结论.此题是余弦定理和均值不等式的结合应用，主要考查熟练掌握及灵活运用公式的能力.

2.4利用正、余弦定理判断三角形的形状

判断三角形的形状，往往会转化为判断角的取值或者边的关系.此类问题往往需要我们利用正弦定理将角的关系转化为边的关系或者是利用余弦定理将边角关系转化为纯粹的边的关系或角的关系，再结合三角形的内角和定理及三角恒等变换确定某个角的大小判断三角形的形状.

小结：本题难度比较大，主要考查余弦定理及三角形面积公式，同时考查利用余弦定理解决三角形面积的实际能力与计算能力.

2.6正、余弦定理与其他知识的交汇

对正、余弦定理的考查，伴随着与其他知识的融合，通常会出现正、余弦定理与向量、数列等的交汇应用，此类问题往往会利用已知条件中的向量关系或者数列关系求出三角函数中边与角的关系，再转化为前面的几种类型，其本质上是对正、余弦定理的应用.

例6（2014年陕西（理）第16题第（Ⅱ）问6分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c.

（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.

小结：本题属于中档题，是对等比数列、余弦定理与均值不等式的综合应用，等比数列是前提，核心是余弦定理，最终利用均值不等式求出最小值，主要考查灵活运用公式的能力及优化的数学思想.

2.7正、余弦定理在立体几何中的应用

立体几何中通常会出现求解某个角的值，某条边的值或者某个角的取值范围，这实际上就是类型2.1，2.2，2.3的应用.

小结：本题难度比较大，它是立体几何中涉及关于角的取值范围的问题，考查了余弦定理，利用特殊的位置作为临界点，这样有利于节约时间，考查我们的逻辑思维能力及转化的数学思想.

2.8正、余弦定理在实际问题中的应用

此类问题是将生活中的实际问题抽象出来，通过画示意图反映真实情况，从而转化为数学问题，再通过正、余弦定理，三角恒等变换，三角形的内角和定理等计算出我们要找的某个角或某条边.

（Ⅰ）求索道AB的长；

（Ⅱ）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短；

（Ⅲ）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

小结：本题难度不大，它是正弦定理在实际问题中的应用，将实际问题转化为具体图形，具体数学问题，再通过求解数学问题得出答案，主要考查了我们利用数学知识解决实际问题的能力.

3.结语

通过对正、余弦定理在近年高考中的应用的讨论，可以看出在解决边、角、判断三角形的形状、求解三角形的面积等问题时往往会考虑正、余弦定理，但试题一般不会单独考查公式的直接应用，需要我们灵活运用三角形的内角和定理、三角恒等变换、三角形的面积公式及均值不等式等与正、余弦定理综合解决.对于正、余弦定理的应用，有的需要我们利用正、余弦定理将边角关系转化为纯粹的边的关系、角的关系，然后得出结论，有的需要我们利用正、余弦定理求出某个角、某条边的具体值，然后解决问题.此类问题往往考查了合理利用公式的能力、计算能力和转化的数学思想，这些与平时的积累是息息相关的.只有注意平时积累，才能在考试中迅速解决问题，节约考试时间.

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基金项目：贵州省遵义师范学院基础教育研究项目（13ZYJ029）