新课程下数学解题中的另类做法

周忠堂 董永明

文学上有“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”的对仗句，数学上也有在直角坐标平面内“点有坐标，线有方程”的对偶语，还有“和与积”，“或与且”，“奇与偶”，“sinα与cosα”，“直线与平面”的对偶词.数学中的对偶是指在一个命题的结构中，将其一个（或几个）元素换成对偶的一个（或几个）元素而获得一个新的命题.若变换前后的两个命题都是真命题，则称这两个命题互为对偶命题，数学解题中构造对偶，享受数学美.

1.构造“直线”与“平面”对偶，再造“新像”

新课程人教版高中数学必修2中，在研究直线与直线，直线与平面及平面与平面的位置关系时，发现将一些命题中直线、平面对换后，真命题仍是真命题，假命题仍是假命题，这正是直线、平面一种和谐的对偶。

案例1.1）空间直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c是真命题。对偶空间平面α，β，γ，若α∥β，β∥γ，则α∥γ是真命题。

2）空间垂直于同一直线的两直线互相平行是假命题。

对偶：空间垂直于同一平面的两平面互相平行是假命题。

3）空间垂直于同一平面的两直线互相平行是真命题。

对偶：空间垂直于同一直线的两平面互相平行是真命题。

4）设x，y，z表示空间不同的直线或平面，且直线不在平面内;则下列选项中能够使命题：“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”成立的序号是？摇  ？摇？摇？摇？摇.

①x，y，z表示空间不同的直线。②x，y，z表示空间不同的平面。③x，y表示空间不同的直线，z表示平面。④x，y表示空间不同的平面，z表示直线。⑤x，z表示空间不同的直线，y表示平面。⑥x，z表示空间不同的平面，y表示直线。

选择方法是由实物作模板，对偶作想象，可迅速作判断;选③④⑤⑥.

2.构造正余弦对偶，出奇制胜

4.构造“任一”与“某一”对偶，其乐无穷

新课程人教版高中数学选修2-1特称与全称命题中“某一”与“任一”;“某一”是专门指“某某”的单称，如“某一方程”，就专门指那一个方程，那一个方程是未知还是已知，它都是一个确定的方程。而“任一”指“任意一个”是泛指的单称，它虽然指一个，但实质上包括了“全体”、“所有”。“任一”所具有的性质，就是“全体”具有性质，反之，由于全体不能一一表示出来，因此可转为“某一”解决。“任一”与“某一”并非文字游戏，即不能用“某一”代替“任一”使问题失去一般性，但在否定“任一”都成立的问题时，而不能不用“某一”而使问题变得复杂，玩玩这样的游戏，真是其乐无穷。

数学中的对偶现象丰富多彩、多种多样，解题时只要认真观察，仔细联想，就可创造形状各异的对偶，对培养思维的创造性极有好处。同时也看到对偶概念方法更是对称概念方法的推广及延伸，构造对偶就成为追求数学美的方式。

参考文献：

[1]王仲春，李元中，等编.数学思维与数学方法论.高等数学教育出版社，1990.

[2]梅向明，刘增贤，编.高等几何.高等教育出版社，1980.