数列中常考的关于函数思想的题型

徐英

摘 要： 数列是一种定义域，是正整数集或其子集的函数，其图像是对应函数的图像上的一些散点，研究数列的一些性质，可以利用函数的性质来研究.作者对数列的最值进行研究，函数的最值常用图像法、导数法、重要不等式等，以供大家参考。

关键词： 数列 函数 最值

一、利用常见函数图像及导数解决数列最值问题

例1：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，则a =？摇 ？摇？摇？摇？摇.

分析：递推关系式为a -a =f（n），求通项用累加法.

解析：a -a =2×1-2？摇？摇a -a =2×2-2a -a =2×3-2，a -a =2×4-2，…，a -a =2n-2，将上式左右两边分别相加，得

a -a =2（1+2+3+…+n）-2n，得a =n -n，所以a =n -3n+3该式对n=1也成立，所以a =n -3n+3.

变式1：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，a 的最小值为？摇？摇 ？摇？摇？摇.

分析：二次函数求最值常用配方法和图像法.

解析：a =n -3n+3可看成二次函数f（x）=x -3x+3，其定义域为正整数集.因为f（x）=x -3x+3的对称轴x= ，在对称轴左右的正整数为n=1和n=2，计算f（1）=f（2）=1，所以a 的最小值为1.

变式2：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2， 的最小值为？摇？摇？摇 ？摇？摇.

分析：f（x）=x+ （k>0）在区间（-∞，- ），（ ，+∞）上单调递增，在区间（0， ），（- ，0）上单调递减；f（x）=x+ （k>0，x>0）时，可利用均值不等式求最值，但要注意一“正”，二“定”，三“相等”.

解析： =n+ -3，可看成函数f（x）=x+ -3其定义域为正整数集，由f（x）=x+ -3在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增.在 左右两侧的正整数分别为n=1和n=2，计算f（1）=1，f（2）=1，所以 的最小值为1.

变式3：已知数列{a }满足a =1，a -a =2n-2，na -3n的最大值为？摇？摇 ？摇？摇？摇.

分析：数列的最高次数为3次时，可以看成三次函数，可用导数求最值.

解析：na -3n=n -3n ，可看成函数f（x）=x -3x 其定义域为正整数集，f′（x）=3x -6x，由f′（x）=3x -6x>0，得02，所以n=2时，f（x）有极大值也是最大值，所以na -3n的最大值为-4.

二、利用函数单调性解决数列最值问题

例2：已知数列{a }中，a = （n∈N ，a∈R，且a≠0），

（1）若a=-7，求数列{a }中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的n∈N ，都有a ≤a 成立，求a的取值范围.

解析：（1）因为a = ，函数f（x）= 在（0， ）内单调递增，此时y<0；在（ ，+∞）内单调递减，y>0.所以0>a >a >a >a >a >a >a >…>a >0（n∈N ）.所以数列{a }中的最大项为a =1，最小项为a =-1.

（2）a = ，因为对任意的n∈N ，都有a ≤a 成立，所以结合函数f（x）的单调性，得6< <7，所以-12

变式2：若a=-7，对任意的n∈N ，都有a ≤a +1成立，求k的最小值为5.

分析：f（x）a，只需f（x） >a.

解析：因为a = ，所以对任意的n∈N ，都有a ≤a +1，只需（a ） ≤a +1.

由（1）知a = 的最大值为1，所以1≤a +1，得k> ，k的最小值为5.

参考文献：

[1]余绍友.函数思想在数列题目中的应用[J].大观周刊，2012（24）.

[2]沈书龙.函数思想在数列中的应用[J].中学课程辅导（高考高三语数外），2013（3）.