探究性数学家庭作业的类型与设计策略

刘善娜

数学家庭作业不仅可用于课后巩固课堂知识，更是对学生学习内化的反刍和学习的应用思考，它是教师诊断和促进学生数学学习的评估手段。但审视当下的现状，数学家庭作业存在太多机械划一的“熟题”作业，它只是以“完成”和“正确”为导向，缺乏对学生完成作业的思维过程和作业习惯的关注。探究性数学家庭作业，以培养学生独立学习能力为切入口，旨在让学生在一定的探究问题引领下，进行自主探究与表达，强调在作业过程中关注概念的理解、模型的建构、方法的提挈、思维过程的体验和能力的养成。结合小学中高段数学教材内容和儿童表达的特点，我们可以将探究性家庭作业分为概念习得类作业、问题解决类作业、迁移证明类作业三种类型。

一、概念习得类作业设计策略

数学概念是通过大量素材的辨析比较、提炼归纳、概括命名的过程而形成的。借由简约化的提炼和符号化的表达，把数学概念抽象成一种显性的符号化知识。而辨析比较、提炼归纳、概括命名的过程，就成为了一种隐性的过程性知识。因此，用怎样的方式学习这些概念知识，将直接影响着学生对数学概念理解的程度。

（一）“描述分析式”作业的设计策略

“描述分析式”的概念建构作业，侧重于概念学习后对概念本身的直接表述，要求学生描述自己心目中“概念”的名称、定义、性质特点等，也就是先“描述自己对这一知识的大概理解”，再通过大量的例子来支撑自己的想法即“呈现大量的举例进行说明”，最后让学生通过自己对概念的 理解来设计一两道题目，以此进一步推进对概念的理解。

比如“平均数”这一概念，在旧教材中的练习基本是平均数的计算题，现在更多的是平均数概念的理解类题目，类似于“小明身高1.5米，他能安全蹚过平均水深为1.3米的小河吗？”既然学习了“平均数”，学生心中的“平均数”三个字到底代表着什么？笔者设计了“平均数的自我介绍”探究性数学作业，学生可以通过画一画、写一写，为“平均数”作一番详细的自我介绍。

有个学生写道：大家好，我是大名鼎鼎的平均数，我跟“÷”有点“血缘”关系。想找到我的方法有两种，一种是“移多补少”大法，一种是总数÷份数。我是“公平的代言人”，代表几个数之间最平等的数。比如有4个草莓、3个苹果、5个梨，我就会分给3个客人每人4个水果。我的自我介绍完毕，谢谢。

三年级的学生已经能通过定义描述、举例、出题的方式把“平均数”的概念予以自我表达。描述分析式作业，不仅能让学生巩固概念，更重要的是给予了学生分析概念的一般方法。学生多次完成这样的探究性数学作业后，一旦接触数学概念，就知道可以从哪些角度帮助自己分析概念，从哪些方面可以帮助自己理解深化。

（二）“判断分析式”作业的设计策略

判断分析式作业，侧重于概念基本巩固后对概念与相关概念的辨析判定。学生需要先判断得出自己的结论，到底是“完全正确还是完全错误？或者是某种前提下才正确”，这是判断的第一步。然后让学生仔细分析，可以通过添加条件、修改数据等方式使这个命题正确，这个环节促使学生去思考与这个命题比较相似、关联比较紧密的一些概念，形成块状的概念认识。最后让学生举出正确的例子，使得对概念的判断分析呈现先“破”后“立”的逻辑顺序，有助于学生正确内化概念。

如学生在三年级下册认识“面积”概念后，常会遇到“面积”与“周长”概念辨析的判断题。有些判断题涉及的内容很抽象，如“图形的周长越长，面积就越大”。“周长”是旧知，要成功建立“面积”概念，离不开新旧概念的辨析。但如果只关注这类判断题的判断结果，就会导致一部分学生模糊地死记答案。若将作业设计为“图形的周长越长，面积就越大吗？为什么？请把你的想法画一画、写一写”。学生就会在判定此题“错误”之后，通过画草图从各自不同的角度对这句话进行分析，得出“凹来凹去的图形虽然面积不大，但边缘可能弯弯曲曲很长，周长大得惊人”等一系列儿童色彩浓郁的精彩结论。

二、问题解决类作业设计策略

问题解决强调“四能”培养，问题解决的核心素养是模型思想，问题解决类作业侧重于让学生掌握不同类型问题的结构，也就是模型建构。既然“问题”都是有组织有结构的，那么关注同一结构的提炼，关注推进式结构的组织，就成了问题解决类数学作业设计时需要秉承的基本理念。

（一）“横向同构”问题作业的设计策略

“横向同构”问题，是指有着相同结构的并列形态的数学问题。问题的例子要突出其共同特征，而使其在无关特征方面尽可能地变化，从而让学生在解答过程中逐步感受到问题的结构组织，达成横向并列问题的共性提取。

“横向同构”问题，需要让学生先独立解答两至三题针对性练习，这几道练习题的结构和数据要完全一致。通常学生做到第二题的时候会产生“类似”的感觉，做到第三题时会出现“题目都一样的”的兴奋心理。因此，可以让学生在解答之后将其感悟到的所有的“一样”之处进行详细说明，这是一个罗列的过程，也是一个梳理的过程。然后再让学生通过画线段图等方法将这一类题的结构特点进行抽象的提炼。

如“植树问题”相关例题新授完毕后，可以设计这样的探究作业题：“路灯问题、楼层问题、锯木问题，为什么都可以称为植树问题？请举例说明。”学生在解答了数据相同的路灯问题、楼层问题、锯木问题后，自悟到各题之间的关联，通过画图描述的方式对植树问题的三种结构有了更深层次的把握，清晰地抽象出了植树问题的基本模型。

（二）“纵向同构”问题作业的设计策略

“纵向同构”问题，是指由同一个数学问题衍生的一题多变、一题多解、一题多练的问题，通过把一道有价值的习题变化成一组相关的对比题组而展现逐步加深的过程，促使学生发现该类问题的变化规律。学生一旦具备了这样的知识，再遇到该类问题时，不管其中的变量如何变化，都能找到解题的方法。

“纵向同构”问题，学生也需要先独立解答两至三题有针对性的练习。这几道练习题讲的是同一件事，要让学生觉得明明很“类似”但又不一样，产生“到底不一样在哪里”的探究欲，从而让学生在一一解答之后将其感悟到的所有“不一样”之处进行说明，最好能表述清楚其中的变化和联系，窥探到相同中的不同、不同中的相同。

比如，在学习“分段计费”后，设计如下作业：“王叔叔坐出租车，3千米以内6元，3千米至10千米每千米1.5元，10千米以上每千米1元。王叔叔如果坐了2千米，要支付多少元？5千米呢？20千米呢？请画线段图分析这类题目的特点。”学生在课堂上研究的是“分两段”的“水费”“电费”“电话费”等问题，在作业时，就可以从“横向”转为“纵向”，从“不需要分段”到“分两段”再拓展到“分三段”，并借助线段图深入理解分段计费问题的特点，一旦掌握这个变化的特点，哪怕分成四段、五段，学生依然思路清晰、方法明确，只是觉得繁复程度递增而已。

这类问题还可以设计成开放题，在封闭的数学题中减少一些已知条件，如把上题中坐车的“5千米”“20千米”这两个数据去掉，由学生自己提供数据，要求“你能再提出不同难度的三个问题吗”，这就促使学生必须先仔细分析这一数学问题，再思考怎样设计才能符合“越来越难”的要求。这类“缺胳膊少腿”的问题需要学生用分析和设计的心态去努力求索所有的结果或创造出新的问题，从而更好地把握问题变量之间的关系，掌握变化的规律，提升提出问题、解决问题的能力。

三、迁移证明类作业设计策略

推理是数学的基本思维方式，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。迁移证明类作业设计侧重于练习之后推理方式的构建，引导学生在推理的过程中逐步掌握证明、分析、推理的步骤和策略。

（一）“证明推理式”探究性作业的设计策略

当学生有能力去推断和证明一个命题时，他的头脑中就已经具有了一定的图式。作业要先把头脑中原有的图式激活，为学生提供解释该问题的背景知识，从而将一些难以理解的信息组织成有意义的整体，有效突破知识难点。

“证明推理”与概念的“判断分析”最大的差异是作业内容的差异。概念的“判断分析”倾向重点知识，主要是重点概念的辨析，而“证明推理”主要是为学习中的一些偏难题铺设探究场，以求真正突破知识难点，增添探究乐趣。

学生要证明自己的观点，首先就要亮出自己的观点，然后要从“证明”的角度去画一画、比一比，或者从正、反两面去陈述，学会用丰富的材料支撑自己的观点，最后得出结论，再次表明自己的观点。

如学习小数的近似数后，对2=2.0，2和2.0意义不同，很容易理解，但对取值范围不同、精确度不同，却总是难以理解到位。笔者设计了这样的“证明”作业：老师身高约2米，小明的身高约2.0米，2=2.0，所以老师和小明一样高。你认同吗？请证明你的看法，并作图（提供数轴图）分析。老师和小明到底谁高呢？答案本是未知，全赖于学生对2和2.0取值范围的认知，对精确值的理解。有趣的比较，激活了学生已有的生活经验和四舍五入取值经验，在结合图示证明自己看法的过程中，学生充满乐趣地感受了近似数2和2.0取值范围的差异。

（二）“迁移推理式”探究性作业的设计策略

学生知识的习得和构建，主要依赖于认知结构中原有的观念去影响和促进新的理解，通过沟通新旧知识的互相联系而形成新的认知结构系统。学生必须自己去经历完整的迁移类推的作业过程，才能形成更好的认知结构。

学生常常会遇到一些很难解答正确的难题。探究性作业可以让学生先“知难”，直接呈现难题给学生，让其展开思考。这个时候各层次的学生会有不同的表现，有些学生能直接解答，那就生成了挑战成功的乐趣，有的学生没有能力解决，就引导他们先进行简单题的尝试分析。这些简单题是与难题结构一致或解题策略一致的相对浅层的习题，学生通过解决难度递升的这组简单题，会打开类比思维，利用知识、方法层面的同一性，迁移解决问题。完成作业的整个过程，不仅让学生明白“难”的知识可以一步步转化成“易”的知识，也让学生掌握迁移解决问题的方法，了解类比思想的重要性。

如“已知正方形面积为2平方厘米，求圆形面积”这道题（见右图），学生基本都感到解答困难。探究作业设计为：如果你觉得解答此题困难，请先做下面两题。1.一个长方形长与宽的和是4厘米，它的周长是多少厘米？2.已知梯形上底与下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面积是多少平方厘米？现在，你能解答前面的问题了吗？你发现它们之间的联系了吗？后两题是旧知铺垫，用于消除学生的思维定势，让学生感受到不一定要知道具体的“长”和“宽”才能求周长，不一定要知道“上底”和“下底”的具体数据才能求梯形面积，而是可以直接借用“长与宽的和”与“上底与下底的和”来解决问题。借此支架，学生就可迁移类推：不一定要知道正方形的边长即圆的半径，利用正方形的面积即圆半径的平方，也能求得圆的面积。

“迁移推理式”探究性作业，关注分层体验，能力强的学生重在发现联系，归纳“迁移点”，能力弱的学生则对“迁移”图式有了较为完整的体验和建构。

当然，除了上述三种探究性作业类型外，在日常的家庭作业布置过程中，更多体现的是综合运用类的作业，通过描述、判断、推理、迁移等要求的综合运用，不仅让学生在探究过程中习得了概念的巩固、技能的熟练、方法的掌握，更重要的是，它让学生逐步建构了描述的规则、推理的方式、梳理的方法等策略，直接推进学生认知结构的组建和完善，发展逻辑思维能力。

（浙江省奉化市实验小学 315500）